WikiSort.ru - Не сортированное

Потенциальная ступенька, в квантовой механике, потенциал вида

${\displaystyle U(x)={\frac {1}{2}}U_{0}\left(1+\mathrm {th} {\frac {x}{2a}}\right).}$

Он монотонно возрастает от 0 на -∞ до U₀ на +∞.

Уравнение Шрёдингера для потенциальной ступеньки

Стационарное уравнение Шрёдингера для потенциальной ступеньки имеет вид:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)+{\frac {1}{2}}U_{0}\left(1+\mathrm {th} {\frac {x}{2a}}\right)\Psi (x)=E\Psi (x)}$

Если обозначить ${\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}}$ и ${\displaystyle \lambda ={\sqrt {2mU_{0}a^{2}/\hbar ^{2}}}}$ , то оно примет вид

${\displaystyle \Psi ''(x)+\left(k^{2}-{\frac {\lambda ^{2}}{2a^{2}}}\left(1+\mathrm {th} {\frac {x}{2a}}\right)\right)\Psi (x)=E\Psi (x).}$

Если сделать замену переменной

${\displaystyle y={\frac {1}{1+e^{\frac {x}{a}}}},}$

то, с учётом обозначения ${\displaystyle \varkappa =ka}$ , приведётся к виду:

${\displaystyle y(1-y)\Psi ''(y)+(1-2y)\Psi '(y)+\left({\frac {\varkappa ^{2}}{y(1-y)}}-{\frac {\lambda ^{2}}{y}}\right)\Psi (y)=0.}$

Так как точки ${\displaystyle y=0}$ и ${\displaystyle y=1}$ являются особыми точкам данного уравнения, то естественно искать решение в виде:

${\displaystyle \Psi (y)=y^{\nu }(1-y)^{\mu }f(y).}$

Если выбрать ${\displaystyle \nu ={\sqrt {\lambda ^{2}-\varkappa ^{2}}}}$ и ${\displaystyle \mu =i\varkappa }$ , то уравнение приведётся к гипергеометрическому уравнению Гаусса:

${\displaystyle y(1-y)f''(y)+\left((2\nu +1)-(2\mu +2\nu +2)\right)f'(y)-(\mu +\nu )(\mu +\nu +1)f(y)=0.}$

Выбирая решения с правильной асимптотикой, получим

${\displaystyle f(y)=C\;_{2}F_{1}(\mu +\nu ,\mu +\nu +1;2\nu +1;y)}$

Тогда можно получить коэффициенты отражения и прохождения. В случае ${\displaystyle E<V_{0}}$ :

${\displaystyle R=1,\qquad T=0.}$

Таким образом, наблюдается полное отражение. В случае ${\displaystyle E>V_{0}}$ с учётом обозначения ${\displaystyle \sigma =i\nu }$ :

${\displaystyle R=\left({\frac {\mathrm {sh} \pi (\varkappa -\sigma )}{\mathrm {sh} \pi (\varkappa +\sigma )}}\right)^{2}}$

В пределе ${\displaystyle a\rightarrow 0}$

${\displaystyle R=\left({\frac {\varkappa -\sigma }{\varkappa +\sigma }}\right)^{2}}$

Литература

• З. Флюгге. Задачи по квантовой механике. — Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1.