WikiSort.ru - Не сортированное

Задача о туннелировании через дельтообразный барьер — это стандартная модельная задача квантовой механики. Задача состоит в решении одномерного стационарного уравнения Шрёдингера с потенциалом в виде дельта-функции Дирака.

Решение

Стационарное одномерное уравнение Шрёдингера для волновой функции ${\displaystyle \psi (x)}$ записывается в виде

${\displaystyle {\hat {H}}\psi (x)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+V(x)\right]\psi (x)=E\psi (x),}$

где ${\displaystyle {\hat {H}}}$ — гамильтониан, ${\displaystyle \hbar }$ — постоянная Планка, ${\displaystyle m}$ — масса, ${\displaystyle E}$ — энергия частицы и ${\displaystyle V(x)={\frac {\lambda }{m}}\delta (x)}$ — дельтообразный потенциальный барьер с ${\displaystyle \lambda >0}$ .

Барьер делит пространство на две части (${\displaystyle x<0,x>0}$ ). В обеих этих областях решение уравнения Шрёдингера представляет собой плоские волны и может быть записано в виде их суперпозиции:

${\displaystyle \psi _{L}(x)=A_{r}e^{ikx}+A_{l}e^{-ikx},\quad x<0,}$

${\displaystyle \psi _{R}(x)=B_{r}e^{ikx}+B_{l}e^{-ikx},\quad x>0,}$

где ${\displaystyle k={\sqrt {2mE}}/\hbar }$ — волновой вектор. Индексы ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle l}$ при коэффициентах ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ указывают на направление волнового вектора вправо и влево. Эти коэффициенты могут быть найдены из условия непрерывности волновой функции ${\displaystyle \psi _{L}(0)=\psi _{R}(0)}$ и условия непрерывности плотности потока вероятности при ${\displaystyle x=0}$ :

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\epsilon }^{+\epsilon }\psi ''(x)\,dx+\int _{-\epsilon }^{+\epsilon }V(x)\psi (x)\,dx=E\int _{-\epsilon }^{+\epsilon }\psi (x)\,dx,\quad \epsilon \rightarrow 0,}$

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left(\psi _{R}'(0)-\psi _{L}'(0)\ \right)+{\frac {\lambda }{m}}\psi (0)=0,}$

${\displaystyle {\frac {d\psi _{L}}{dx}}(0)={\frac {d\psi _{R}}{dx}}(0)-{\frac {2\lambda }{\hbar ^{2}}}\psi _{R}(0).}$

Эти условия дают следующие уравнения связи для коэффициентов ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ :

${\displaystyle A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l},}$

${\displaystyle ik(A_{r}-A_{l}-B_{r}+B_{l})=-{\dfrac {2\lambda }{\hbar ^{2}}}\left(B_{r}+B_{l}\right).}$

Коэффициенты прохождения и отражения

В классическом случае частица с конечной энергией ${\displaystyle E>0}$ не может преодолеть бесконечный потенциальный барьер. При квантовом подходе, однако, возможно туннелирование. Пусть падающая частица приближается к барьеру слева (${\displaystyle A_{r}=1}$ и ${\displaystyle B_{l}=0}$ ), тогда коэффициенты ${\displaystyle A_{l}=r}$ и ${\displaystyle B_{r}=t}$ , определяющие вероятность отражения и прохождения соответственно, имеют вид:

${\displaystyle t={\frac {1}{{\frac {i\lambda }{\hbar ^{2}k}}+1}},}$

${\displaystyle r={\frac {1}{{\frac {i\hbar ^{2}k}{\lambda }}-1}}.}$

Неожиданным результатом с классической точки зрения является то, что имеется ненулевая вероятность прохождения (коэффициент прохождения) для бесконечно высокого барьера:

${\displaystyle T=|t|^{2}={\frac {1}{1+{\frac {\lambda ^{2}}{\hbar ^{4}k^{2}}}}}={\frac {1}{1+{\frac {\lambda ^{2}}{2m\hbar ^{2}E}}}},}$

${\displaystyle R=|r|^{2}=1-T={\frac {1}{1+{\frac {\hbar ^{4}k^{2}}{\lambda ^{2}}}}}={\frac {1}{1+{\frac {2m\hbar ^{2}E}{\lambda ^{2}}}}}.}$

Литература

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5.