WikiSort.ru - Не сортированное

Поверхностные состояния в металлах

Простая модель для вывода основных свойств состояний на металлическую поверхности представляется в виде полубесконечной периодической цепочки из одинаковых атомов.^[7] В этой модели, обрыв цепи представляет собой поверхность, где потенциал достигает значения V₀ вакуума в виде ступенчатой функции, рисунок 1. В кристалле потенциал предполагается периодическим с периодичностью a решетки. Состояния Шокли находятся как решения одномерного одногоэлектронного уравнения Шредингера

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}+V(z)\right]\Psi (z)=E\Psi (z),\end{aligned}}}$

с периодическим потенциалом

${\displaystyle {\begin{aligned}V(z)=\left\{{\begin{array}{cc}P\delta (z+la),&{\textrm {for}}\quad z<0\\V_{0},&{\textrm {for}}\quad z>0\end{array}}\right.,\end{aligned}}}$

где l представляет собой целое число, а P представляет собой коэффициент нормировки. Решение должно быть получено независимо для двух областей z<0 и z>0, где на границе (z=0) выполняются обычные условиях непрерывности волновых функций и их производных. Поскольку потенциал является периодическим то глубоко внутри кристалла электронные волновые функции должны предсталять собой блоховские волны. Решение в кристалле представимо в виде линейной комбинации падающей и отраженной от поверхности волн. Для z>0 решение экспоненциально убывает в вакууме

${\displaystyle {\begin{aligned}\Psi (z)=\left\{{\begin{array}{cc}Bu_{-k}e^{-ikz}+Cu_{k}e^{ikz},&{\textrm {for}}\quad z<0\\A\exp \left[-{\sqrt {2m(V_{0}-E)}}{\frac {z}{\hbar }}\right],&{\textrm {for}}\quad z>0\end{array}}\right.,\end{aligned}}}$

Волновая функция для состояния на металлической поверхности качественно показано на рисунке 1 в виде Блоховской волны в кристалле с экспоненциально затухающим хвостом вне поверхности. Из-за хвоста появляется недостаток отрицательной плотности заряда внутри кристалла и увеличивается отрицательная плотность заряда за пределами поверхности, что приводит к образованию дипольного двойного слоя. Дипольный слой возмущает потенциал на поверхности и приводит, например, к изменению работы выхода металла.

Поверхностные состояния в полупроводниках

Приближение почти свободных электронов можно использовать для получения основных свойств поверхностных состояний для узкощелевых полупроводников. Модель с полубесконечной линейной цепочкой атомов также полезна в этом случае. Однако, теперь предполагается, что потенциал вдоль цепочки атомов изменяется как функция косинуса

${\displaystyle V(z)=V\left[\exp \left(i{\frac {2\pi z}{a}}\right)+\exp \left(-i{\frac {2\pi z}{a}}\right)\right]=2V\cos \left({\frac {2\pi z}{a}}\right),}$

в то время как на поверхности потенциал задан в виде ступенчатой функции высоты V₀. Решения уравнения Шредингера должны быть получены отдельно для двух областей z < 0 и z > 0. В приближении почти свободных электронов, решения, полученные при z < 0 будут иметь характер плоских волн для волновых векторов вдали от границы зоны Бриллюэна ${\displaystyle k=\pm \pi /a}$ , где дисперсионное соотношение предполагается параболическим. На границах зон Бриллюэна, из-за брэгговского отражения возникает стоячая волна, состоящей из волн с волновыми векторами ${\displaystyle k=\pi /a}$ и ${\displaystyle k=-\pi /a}$ .

${\displaystyle \Psi (z)=Ae^{ikz}+Be^{i[k-(2\pi /a)]z},}$

где ${\displaystyle G=2\pi /a}$ это вектор из обратной решетки. Поскольку представляют интерес решения близкие к границе зоны Бриллюэна, выбраны вектора ${\displaystyle k_{\perp }=\pi /a+\kappa }$ , где κ малая величина. Произвольные постоянные A,B находятся путем подстановки в уравнение Шредингера. Это приводит к следующим собственным значениям энергии

${\displaystyle E={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\pi }{a}}+\kappa \right)^{2}\pm |V|\left[-{\frac {\hbar ^{2}\pi \kappa }{ma|V|}}\pm {\sqrt {\left({\frac {\hbar ^{2}\pi \kappa }{ma|V|}}\right)^{2}+1}}\right],}$

которые показывают расщепление зоны на краях зоны Бриллюэна, где ширина запрещенной зоны равна 2V. Электронные состояния глубоко внутри кристалла, соответствующие различным зонам задаются в виде

${\displaystyle \Psi _{i}=Ce^{i\kappa z}\left(e^{i\pi z/a}+\left[-{\frac {\hbar ^{2}\pi \kappa }{ma|V|}}\pm {\sqrt {\left({\frac {\hbar ^{2}\pi \kappa }{ma|V|}}\right)^{2}+1}}\right]e^{-i\pi z/a}\right),}$

где C это нормировочная константа. Вблизи поверхности при z > 0, то это решение должено сшиваться с экспоненциально затухающей функцией, решением уравнения Шрёдингера с постоянным потенциалом V₀.

${\displaystyle \Psi _{0}=D\exp \left[-{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(V_{0}-E)}}z\right].}$

Можно показать, что условия сшивки можно выполнить при любой возможной энергии, которая лежит в разрешенной зоне. Как и в случае для металлов, этот тип решения представляет собой стоячую Блоховскую волну в кристалле, которая проникает в вакуум вблизи поверхности. Качественный участок волновой функции показан на рисунке 1. Если рассматривать мнимые значения κ, т.е. κ = - i·q для z ≤ 0 и определить

${\displaystyle i\sin(2\delta )=-i{\frac {\hbar ^{2}\pi q}{maV}}}$

то получается решение с амплитудой затухающей вглубь кристалла

${\displaystyle \Psi _{i}(z\leq 0)=Fe^{qz}\left[\exp \left[i\left({\frac {\pi }{a}}z\pm \delta \right)\right]\pm \exp \left[-i\left({\frac {\pi }{a}}z\pm \delta \right)\right]\right]e^{\mp i\delta }}$

Собственные значения энергии определяются как

${\displaystyle E={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left[\left({\frac {\pi }{a}}\right)^{2}-q^{2}\right]\pm V{\sqrt {1-\left({\frac {\hbar ^{2}\pi q}{maV}}\right)^{2}}}}$

E реальна для больших отрицательных z, что и требовалось. Кроме того, в диапазоне ${\displaystyle 0\leq q\leq q_{max}=maV\hbar ^{2}\pi }$ все энергии поверхностных состояний попадают в запрещенную зону. Полное решение снова найдено путем сшивки объёмного решения в кристалле с экспоненциально затухающим в вакууме решением. В результате получается состояние, локализованное на поверхности и затухающее как в кристалле так и в вакууме.

Двумерные зоны

Независимо от типа кристалла (ионный или ковалентный), на идеальной поверхности со строгой периодичностью в её плоскости (X,Y), в соответствии с общими представлениями зонной теории должны возникать двумерные зоны поверхностных состояний, делокализованных в плоскости поверхности. Вероятность обнаружить электрон в любой поверхностной элементарной ячейке одинакова: электроны в таких зонах описываются блоховскими функциями с квазиволновыми векторами, ориентированными в плоскости поверхности (${\displaystyle k_{X},k_{Y}}$ )

Одномерные зоны

На атомарно-чистых поверхностях в принципе возможно также появление одномерных периодических структур — кристаллических ступенек или поверхностных доменов. Структуры такого типа должны приводить к возникновению одномерных зон поверхностных состояний; соответствующие волновые функции делокализованы вдоль одномерной структуры и зависят только от одной составляющей квазиволнового вектора.