WikiSort.ru - Не сортированное

Гармонический осциллятор в квантовой механике представляет собой квантовый аналог простого гармонического осциллятора, при этом рассматривают не силы, действующие на частицу, а гамильтониан, то есть полную энергию гармонического осциллятора, причём потенциальная энергия предполагается квадратично зависящей от координат. Учёт следующих слагаемых в разложении потенциальной энергии по координате ведёт к понятию ангармонического осциллятора.

Задача о гармоническом осцилляторе в координатном представлении

Гамильтониан квантового осциллятора массы m, собственная частота которого ω, выглядит так:

${\displaystyle \!{\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}{\hat {q}}^{2}}{2}}}$

В координатном представлении ${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar \partial /\partial x}$ , ${\displaystyle {\hat {q}}=x}$ . Задача об отыскании уровней энергии гармонического осциллятора сводится к нахождению таких чисел E при которых следующее дифференциальное уравнение в частных производных

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x)+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}\psi (x)=E\psi (x)}$

имеет решение в классе квадратично интегрируемых функций.

Для

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)\ ,\ n=0,1,2,\ldots }$

решение имеет вид:

${\displaystyle \psi _{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {2^{n}n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot \exp \left(-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}\right)\cdot H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),}$

функции ${\displaystyle \!H_{n}}$  — полиномы Эрмита:

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}}$

Данный спектр значений E заслуживает внимания по двум причинам: во-первых, уровни энергии дискретны и равноотстоящи (эквидистантны), то есть разница в энергии между двумя соседними уровнями постоянна и равна ${\displaystyle \hbar \omega }$ , во-вторых наименьшее значение энергии равно ${\displaystyle \hbar \omega /2}$ . Этот уровень называют основным, вакуумом, или уровнем нулевых колебаний.

Ангармонический осциллятор

Под ангармоническим осциллятором понимают осциллятор с неквадратичной зависимостью потенциальной энергии от координаты. Простейшим приближением ангармонического осциллятора является приближение потенциальной энергии до третьего слагаемого в ряде Тейлора:

${\displaystyle {\hat {H}}={{\hat {p}}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}{\hat {q}}^{2}+\lambda {\hat {q}}^{3}}$

Точное решение задачи о спектре энергии такого осциллятора довольно трудоёмкое, однако можно вычислить поправки к энергии, если предположить, что кубическое слагаемое мало по сравнению с квадратичным, и воспользоваться теорией возмущений.

В представлении операторов рождения и уничтожения (представление вторичного квантования), кубическое слагаемое равно

${\displaystyle \lambda \left({\hbar \over 2m\omega }\right)^{3 \over 2}({\hat {a}}+{\hat {a}}^{+})^{3}.}$

Этот оператор имеет нулевые диагональные элементы, а потому первая поправка теории возмущений отсутствует. Вторая поправка к энергии произвольного невакуумного состояния ${\displaystyle \left|\psi _{E}\right\rangle }$ равна

${\displaystyle \Delta E^{(2)}=\lambda ^{2}\left\langle \psi _{E}\right|q^{3}{1 \over E-\hbar \omega /2}q^{3}\left|\psi _{E}\right\rangle .}$

Многочастичный квантовый осциллятор

В простейшем случае взаимодействия нескольких частиц можно применить модель многочастичного квантового осциллятора, подразумевая взаимодействие соседних частиц по квадратичному закону:

${\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{i=1}^{N}{{\hat {p}}_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}\sum _{\{ij\}(nn)}({\hat {q}}_{i}-{\hat {q}}_{j})^{2}}$

Здесь под ${\displaystyle \!{\hat {q}}_{i}}$ и ${\displaystyle \!{\hat {p}}_{i}}$ подразумеваются отклонение (от положения равновесия) и импульс ${\displaystyle \!i}$ -той частицы. Суммирование ведётся только по соседним частицам.

Такая модель приводит к теоретическому обоснованию фононов — бозе-квазичастиц, наблюдающихся в твёрдом теле.

Переходы под влиянием внешней силы

Под влиянием внешней силы ${\displaystyle \!f(t)}$ квантовый осциллятор может переходить с одного уровня энергии (${\displaystyle \!n}$ ) на другой (${\displaystyle \!m}$ ). Вероятность этого перехода ${\displaystyle \!W_{n,m}(t)}$ для осциллятора без затухания даётся формулой:

${\displaystyle W_{n,m}(t)={\frac {n!}{m!}}|\delta |^{2(n-m)}exp(-|\delta ^{2}|\left(L_{n}^{m-n}(|\delta |^{2})\right)^{2})}$ ,

где функция ${\displaystyle \!\delta (t)}$ определяется как:

${\displaystyle \delta (t)=-il\hbar \int \limits _{0}^{t}{f(\tau )exp(i\omega \tau )d\tau }}$ ,

а ${\displaystyle L_{m}^{m-n}}$  — полиномы Лагерра.

См. также

• Уровни Ландау
• Гармонический осциллятор

Литература

Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 3-е, переработанное и дополненное. — М.: Наука, 1974. — 752 с. — («Теоретическая физика», том III).