WikiSort.ru - Не сортированное

Треугольная потенциальная яма — это один из наиболее простых потенциалов в квантовой механике допускающих точное решение задачи о движении заряда в электрическом поле. Основная её особенность состоит в том, что она возникает вследствие тривиального обрезания бесконечного 3D-пространства 2D-плоскостью.

Рассмотрим потенциальную энергию ${\displaystyle U(x)}$ , представляемую в виде:

${\displaystyle U(x)={\begin{cases}eEx,&x\geq \;0\\+\infty ,&x<0\end{cases}}}$

где ${\displaystyle x}$ - координата 3D-пространства, вдоль которой проводится его обрезание плоскостью при ${\displaystyle x=0}$ , ${\displaystyle e}$ - заряд электрона, ${\displaystyle E}$ - напряжённость электрического поля, определяющая потенциальную энергию.

Уравнения Шрёдингера в данном одномерном случае можно записать в виде:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+{\frac {2m}{\hbar \;^{2}}}(W-eEx)\psi =0.}$

Для упрощения дальнейшего рассмотрения введём безразмерную переменную в виде:

${\displaystyle \xi =\left(-x+{\frac {W}{eE}}\right)\left({\frac {2meE}{\hbar \;^{2}}}\right)^{1/3}.}$

В результате, получим уравнение Шрёдингера, которое зависит от параметра энергии:

${\displaystyle \psi ''(\xi )+\xi \psi (\xi )=0.}$

Решение данного уравнение есть

${\displaystyle \psi (\xi )=A\Phi (-\xi ),}$

где функции Эйри определённые следующим образом:

${\displaystyle \Phi (\xi )={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{+\infty }\cos \left({{\frac {u^{3}}{3}}+u\xi }\right)\,du}$

При движении в неограниченном пространстве уже есть определённая постоянная интегрирования ${\displaystyle A}$ :

${\displaystyle A={\frac {(2m)^{1/3}}{\pi ^{1/2}(eE)^{1/6}\hbar \;^{2/3}}}}$ .

Основное отличие данной задачи состоит в том, что при ${\displaystyle x=0}$ потенциальная энергия стремительно растёт, и мы должны для сшивания волновых функций использовать условие:

${\displaystyle \psi (\xi _{j})=0,}$

где ${\displaystyle \xi _{j}}$ — корни функции Эйри. Можно привести первые 5 значений этих корней: ${\displaystyle \xi _{1}=2,33810741}$ , ${\displaystyle \xi _{2}=4,08794944}$ , ${\displaystyle \xi _{3}=5,52055983}$ , ${\displaystyle \xi _{4}=6,78670809}$ , ${\displaystyle \xi _{5}=7,94413359}$ .

В результате, мы получили дискретный спектр энергий для треугольной потенциальной ямы в виде:

${\displaystyle W_{j}=\xi _{j}{\big [}{\frac {eE\hbar \;}{\sqrt {2m}}}{\big ]}^{2/3}}$

Поскольку между потенциальной энергией и дискретным спектром справедливо следующее соотношение в узловых точках:

${\displaystyle U(x_{j})=eEx_{j}=W_{j}}$

поэтому можно обнаружить значение координаты ${\displaystyle x_{j}}$ :

${\displaystyle x_{j}=\xi _{j}{\big (}{\frac {\hbar \;^{2}}{2meE}}{\big )}^{1/3}}$

Широкое распространение данная задача приобрела при исследованиях 2D-систем электронного газа инверсных слоёв поверхности раздела диэлектрик — полупроводник.

Литература

• Андо Т., Фаулер А, Стерн Ф. Электронные свойства двумерных систем. Пер. с англ.- М.:Мир, 1985.- 416с.
• Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. Изд. 2-е.- М.:ГосИздат,1963.- 703с.

Ссылка

См. также

• Квантовое движение в электрическом поле
• Квантовое движение в прямоугольной потенциальной яме
• Осцилляции Зенера — Блоха
• Квантовый осциллятор