WikiSort.ru - Не сортированное

Строгая формулировка

Собственные состояния одноэлектронного гамильтониана

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+U(\mathbf {r} ),}$

где потенциал U(r) периодичен по всем векторам R решётки Бравэ, могут быть выбраны таким образом, чтобы их волновые функции имели форму плоской волны, умноженной на функцию, обладающую той же периодичностью, что и решётка Бравэ:

${\displaystyle \psi _{n\mathbf {k} }=e^{i\mathbf {kr} }u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} ),}$ где ${\displaystyle u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} +\mathbf {R} )=u_{n\mathbf {k} }(\mathbf {r} ),}$

для всех R, принадлежащих решётке Бравэ. Индекс n называют номером зоны. Его появление связано с тем, что при произвольном фиксированном волновом векторе частицы k, система может иметь много независимых собственных состояний.

Пояснения к формулировке

В теореме рассматривается идеальный бесконечный кристалл. Это означает, что в нём отсутствуют дефекты и он обладает трансляционной симметрией. При дальнейшем построении теории, нарушения периодичности решётки обычно считаются малыми возмущениями. Кроме того, в реальном кристалле электроны взаимодействуют между собой, что должно отразиться на гамильтониане системы добавлением соответствующего члена. В формулировке теоремы, однако, используется приближение невзаимодействующих электронов, что позволяет рассматривать одночастичный гамильтониан.