Яма с бесконечными стенками, в квантовой механике, представляет собой модель частицы, заключённую в «ящике» определённой формы. В одномерном случае этот ящик представляет собой конечный отрезок. Внутри отрезка потенциал считается нулевым. Во всех остальных точках вещественной прямой потенциал обращается в бесконечность. Математически это обычно отражают в граничных условиях, считая, что волновые функции обращаются в нуль на концах отрезка. Данный потенциал является предельным случаем прямоугольной квантовой ямы. В многомерном случае потенциал считается равным нулю внутри некоторой области, на границах которой ставятся граничные условия Дирихле. Часто рассматривают прямоугольную область (прямоугольный «ящик»).
Одномерная потенциальная яма с бесконечными стенками
Потенциал одномерной потенциальной ямы с бесконечными стенками имеет вид
Стационарное уравнение Шрёдингера на интервале
С учётом обозначения
, оно примет вид:
Общее решение удобно представить в виде линейной оболочки чётных и нечётных функций:
Граничные значения имеют вид:
Они приводят к однородной системе линейных уравнений:
которая имеет нетривиальные решения при условии равенства нулю её определителя:
что после тригонометрических преобразований принимает вид:
Корни этого уравнения имеют вид
Подставляя в систему, имеем:
Таким образом, решения распадаются на две серии — чётных и нечётных решений:
Тот факт, что решения разбиваются на чётные и нечётные связан с тем, что потенциал сам по себе является чётной функцией.
С учётом нормировки
получим явный вид нормировочных множителей:
В результате получим собственные функции гамильтониана:
с соответствующим энергетическим спектром:
Литература
- Бом Д. Квантовая теория. — Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1965.
- Флюгге З. Задачи по квантовой механике. — Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1.
 |
---|
Одномерные без учёта спина | |
---|
Многомерные без учёта спина | |
---|
С учётом спина | Электрон со спином в центральном поле |
---|
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .