WikiSort.ru - Не сортированное

Алгебраические операции

На формальных степенных рядах можно определить операции сложения (${\displaystyle +}$ ), умножения (${\displaystyle \cdot }$ ), формального дифференцирования (${\displaystyle '}$ ) и композиции (${\displaystyle \circ }$ ) следующим образом. Пусть

${\displaystyle F(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n},\qquad G(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n},\qquad H(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n}.}$

Тогда

${\displaystyle H=F+G\iff \forall n\,c_{n}=a_{n}+b_{n};}$

${\displaystyle H=F\,\cdot \,G\iff \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{k+l=n}a_{k}b_{l};}$

${\displaystyle H=F'\iff \forall n\,c_{n}=(n+1)a_{n+1};}$

${\displaystyle H=F\circ G\iff \forall n\,c_{n}=\sum \limits _{s=1}^{n}a_{s}\sum \limits _{k_{1}+\ldots +k_{s}=n}b_{k_{1}}b_{k_{2}}\ldots b_{k_{s}}}$ (при этом необходимо, чтобы ${\displaystyle b_{0}=0}$ ).

Таким образом, формальные степенные ряды над кольцом ${\displaystyle R}$ сами образуют кольцо, обозначаемое ${\displaystyle R[[X]]}$ .

Метрика и топология

В кольце ${\displaystyle R[[X]]}$ также можно задать топологию, порождаемую следующей метрикой:

${\displaystyle d((a_{n}),\;(b_{n}))=2^{-k},}$

где ${\displaystyle k}$  — наименьшее натуральное число такое, что ${\displaystyle a_{k}\neq b_{k}}$ .

Можно доказать, что определённые умножение и сложение в этой топологии являются непрерывными, и тогда, формальные степенные ряды с определённой топологией образуют топологическое кольцо.

Обратимые элементы

Формальный ряд

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}}$

в ${\displaystyle R[[X]]}$ является обратимым тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a_{0}}$ является обратимым в ${\displaystyle R}$ . Это является необходимым, поскольку свободный член произведения равен ${\displaystyle a_{0}b_{0}}$ , и достаточным, поскольку коэффициенты обращённого ряда определяются по формуле:

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{0}&={\frac {1}{a_{0}}},\\b_{n}&=-{\frac {1}{a_{0}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{n-i},\qquad \forall n\geqslant 1.\end{aligned}}}$