Постоя́нная Хи́нчина — вещественная константа , равная среднему геометрическому элементов разложения в цепную дробь любого из почти всех вещественных чисел.
Постоянная Хинчина названа в честь Александра Яковлевича Хинчина, обнаружившего и доказавшего существование этой постоянной и формулу для неё в 1935 году[1]. Обозначение [2] или [3] соответствует первой букве транслитерации фамилии «Хинчин» в европейских языках.
Для почти любого вещественного числа элементы его разложения в цепную дробь имеют конечное среднее геометрическое, не зависящее от [4]. Эта величина и называется постоянной Хинчина.
Иными словами, если
где целое, а остальные натуральные, то для почти всех выполняется
При этом постоянную Хинчина можно выразить в виде бесконечного произведения
Разложение в цепную дробь любого вещественного числа — это последовательность натуральных чисел, и любая последовательность натуральных чисел является разложением в цепную дробь какого-либо вещественного числа, лежащего между 0 и 1. Тем не менее, если каким-либо образом случайно выбирать элементы последовательности натуральных чисел, то среднее геометрическое элементов, вообще говоря, совершенно не обязательно будет одним и тем же для всех или почти всех получаемых последовательностей. Поэтому существование постоянной Хинчина — то обстоятельство, что среднее геометрическое элементов разложения в цепную дробь оказывается одним и тем же для почти всех вещественных чисел, — это фундаментальное утверждение о вещественных числах и их разложениях в цепную дробь[5], изящный и глубокий результат[6], один из самых поразительных фактов в математике[7].
Здесь приводится доказательство существования постоянной Хинчина и формулы для неё, принадлежащее Чеславу Рыль-Нарджевскому[pl][8], которое проще доказательства Хинчина, не использовавшего эргодическую теорию[9].
Поскольку первый элемент разложения числа в цепную дробь не играет никакой роли в доказываемом утверждении и поскольку мера Лебега рациональных чисел равна нулю, то мы можем ограничиться рассмотрением иррациональных чисел на отрезке , то есть множеством . Эти числа имеют взаимно-однозначное соответствие с цепными дробями вида . Введём отображение Гаусса :
Для каждого борелева подмножества множества также определим меру Гаусса — Кузьмина:
Тогда — вероятностная мера на сигма-алгебре Борелевых подмножеств . Мера эквивалентна мере Лебега на , но обладает дополнительным свойством: преобразование сохраняет меру . Более того, можно показать, что — эргодическое преобразование измеримого пространства , снабжённого мерой (это самый трудный момент в доказательстве). Тогда эргодическая теорема говорит, что для любой -интегрируемой функции на среднее значение — одно и то же почти для всех :
Выбирая функцию , получаем:
для почти всех из .
Беря экспоненту от обеих частей равенства, получаем слева среднее геометрическое первых элементов цепной дроби при , а справа — постоянную Хинчина[9].
Постоянная Хинчина может быть представлена в виде ряда[2]:
или, разделяя члены ряда,
где — некоторое фиксированное целое число, — дзета-функция Гурвица. Оба ряда быстро сходятся, потому что быстро приближается к нулю с ростом . Можно также дать разложение через дилогарифм[2]:
Хотя среднее геометрическое элементов разложения в цепную дробь равно для почти всех чисел, но это не доказано практически ни для одного конкретного числа , кроме тех, которые специально сконструированы так, чтобы удовлетворять этому утверждению[3][10]. Такое число можно построить, задавая сразу элементы его разложения в цепную дробь, например, так: любое конечное число элементов в начале не окажут никакого влияния на предельное значение среднего геометрического, поэтому их можно взять любыми (например, можно взять первые 60 элементов равными 4); каждый последующий элемент берётся равным 2 или 3 в зависимости от того, больше или меньше постоянной Хинчина среднее геометрическое всех предшествующих элементов. Для данного конкретного примера, однако, не выполняется статистика Гаусса — Кузьмина.
К числам , про которые известно, что среднее геометрическое элементов их разложения в цепную дробь не равняется постоянной Хинчина, относятся рациональные числа, квадратичные иррациональности (корни всевозможных квадратных уравнений с целыми коэффициентами) и основание натурального логарифма . Хотя рациональных чисел и квадратичных иррациональностей бесконечно много, но они образуют множество меры ноль, и потому их не нужно включать в «почти все» числа из определения постоянной Хинчина.
Среднее геометрическое элементов разложения в цепную дробь некоторых чисел, похоже (исходя из непосредственных вычислений средних для больших ), сходится к постоянной Хинчина, хотя ни в одном из этих случаев равенство в пределе не доказано. В частности, к этим числам относятся число π, постоянная Эйлера — Маскерони, число , , сама постоянная Хинчина. Последнее обстоятельство позволяет предположить, что постоянная Хинчина иррациональна, но точно неизвестно, является ли постоянная Хинчина рациональным, алгебраическим или трансцендентным числом[3].
Можно рассматривать постоянную Хинчина как частный случай среднего степенного элементов разложения чисел в цепную дробь. Для любой последовательности среднее степени равняется
Если — элементы разложения числа в цепную дробь, то для любого и почти всех даются формулой
Она получается вычислением соответствующего степенного среднего по статистике Гаусса — Кузьмина и соответствует выбору функции в вышеизложенном доказательстве[2][8]. Можно показать, что значение получается в пределе .
В частности, можно получить среднее гармоническое элементов разложения в цепную дробь. Это число равно
Эта статья входит в число добротных статей русскоязычного раздела Википедии. |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .