WikiSort.ru - Не сортированное

Теорема Гурвица — результат теории чисел, оценивающий возможность приближения иррациональных чисел рациональными.

Формулировка

Для любой константы ${\displaystyle c\leqslant {\sqrt {5}}}$ и иррационального числа ${\displaystyle \xi }$ существует бесконечно много целых чисел ${\displaystyle k}$ таких, что ${\displaystyle \xi }$ приближаемо рациональными числами с точностью ${\displaystyle |\xi -{\frac {h}{k}}|<{\frac {1}{ck^{2}}}}$ .

Для любой константы ${\displaystyle c>{\sqrt {5}}}$ существует иррациональное число ${\displaystyle \xi }$ такое, что только конечное количество значений ${\displaystyle k}$ позволяют подобрать ${\displaystyle h}$ , удовлетворяющее ${\displaystyle |\xi -{\frac {h}{k}}|<{\frac {1}{ck^{2}}}}$ .

Доказательство

Теорема была доказана Адольфом Гурвицем в 1891 году. Контрпримером для ${\displaystyle c>{\sqrt {5}}}$ может являться число ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ .

Литература

• К. Чандрасекхаран. Введение в аналитическую теорию чисел. — Мир, 1968.