WikiSort.ru - Не сортированное

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте
График функции «пол» (целая часть числа)
График функции «потолок»

В математике, целая часть вещественного числа  — округление до ближайшего целого в меньшую сторону. Целая часть числа также называется антье (фр. entier), или пол (англ. floor). Наряду с полом существует парная функция — потолок (англ. ceiling) — округление до ближайшего целого в большую сторону.

Обозначения и примеры

Впервые квадратные скобки ( ) для обозначения целой части числа использовал Гаусс в 1808 году в своём доказательстве закона квадратичной взаимности[1]. Это обозначение считалось стандартным[2], пока Кеннет Айверсон в своей книге «A Programming Language», опубликованной в 1962 году, не предложил[3][4][5] округление числа до ближайшего целого в меньшую и большую стороны называть «пол» и «потолок» и обозначать и соответственно.

В современной математике используются оба обозначения[6], и , однако существует тенденция перехода к терминологии и обозначениям Айверсона. Одна из причин этого — потенциальная неоднозначность понятия «целая часть числа»[5]. Например, целая часть числа 2,7 равна 2, но возможны два мнения на то, как определить целую часть числа −2,7. В соответствии с данным в этой статье определением , однако в некоторых калькуляторах имеется функция целой части числа INT, для отрицательных чисел определяемая как INT(-x) = -INT(x), так что INT(-2,7) = −2. В терминологии Айверсона отсутствуют возможные неоднозначности:

Определения

Функция пол определяется как наибольшее целое, меньшее или равное :

Функция потолок определяется как наименьшее целое, большее или равное :

Эти определения эквивалентны следующим неравенствам (где n — целое число):[7]

Свойства

В формулах, записанных ниже, буквами и обозначены вещественные числа, а буквами и  — целые.

Пол и потолок как функции вещественной переменной

Функции пол и потолок отображают множество вещественных чисел в множество целых чисел:

Пол и потолок — кусочно-постоянные функции.

Функции пол и потолок разрывны: во всех целочисленных точках терпят разрывы первого рода со скачком, равным единице.

При этом функция пол является:

Функция потолок является:

Связь функций пол и потолок

Для произвольного числа верно неравенство[8]

Для целого пол и потолок совпадают:

Если  — не целое, то значение функции потолок на единицу больше значения функции пол:

Функции пол и потолок являются отражениями друг друга от обеих осей:

Пол/потолок: неравенства

Любое неравенство между вещественным и целым числами равносильно неравенству с полом и потолком между целыми числами [7]:

Два верхних неравенства являются непосредственными следствиями определений пола и потолка, а два нижние — обращение верхних от противного.

Функции пол/потолок являются монотонно возрастающими функциями:

Пол/потолок: сложение

Целочисленное слагаемое можно вносить/выносить за скобки пола/потолка [9]:

Предыдущие равенства, вообще говоря, не выполняются, если оба слагаемых — вещественные числа. Однако и в этом случае справедливы неравенства:

Пол/потолок под знаком функции

Имеет место следующее предложение:[10]

Пусть  — непрерывная монотонно возрастающая функция, определенная на некотором промежутке, обладающая свойством:

Тогда

всякий раз, когда определены .

В частности,

если и  — целые числа, и .

Пол/потолок: суммы

Если  — целые числа, , то [11]

Вообще, если  — произвольное вещественное число, а  — целое положительное, то

Имеет место более общее соотношение [12]:

Так как правая часть этого равенства симметрична относительно и , то справедлив следующий закон взаимности:

Разложимость в ряд

Тривиальным образом функция антье раскладывается в ряд с помощью функции Хевисайда:

где каждое слагаемое ряда создаёт характерные «ступеньки» функции. Этот ряд сходится абсолютно, однако ошибочное преобразование его слагаемых может привести к «упрощённому» ряду

который расходится.

Применение

Целочисленные функции пол/потолок находят широкое применение в дискретной математике и теории чисел. Ниже приведены некоторые примеры использования этих функций.

Количество цифр в записи числа

Количество цифр в записи целого положительного числа в позиционной системе счисления с основанием b равно [13]

Округление

Ближайшее к целое число может быть определено по формуле

Бинарная операция mod

Операция «остаток по модулю», обозначаемая , может быть определена с помощью функции пола следующим образом. Если  — произвольные вещественные числа, и , то неполное частное от деления на равно

,

а остаток

Дробная часть

Дробная часть вещественного числа по определению равна

Количество целых точек промежутка

Требуется найти количество целых точек в замкнутом промежутке с концами и , то есть количество целых чисел , удовлетворяющий неравенству

В силу свойств пол/потолка, это неравенство равносильно

.

Это есть число точек в замкнутом промежутке с концами и , равное .

Аналогично можно подсчитать количество целых точек в других типах промежутков. Сводка результатов приведена ниже [14].

(Через обозначена мощность множества ).

Первые три результата справедливы при всех , а четвёртый — только при .

Теорема Рэлея о спектре

Пусть и  — положительные иррациональные числа, связанные соотношением [15]

Тогда в ряду чисел

каждое натуральное встречается в точности один раз. Иными словами, последовательности

и ,

называемые последовательностями Бетти (англ.), образуют разбиение натурального ряда.[16]

В информатике

В языках программирования

Во многих языках программирования существуют встроенные функции пола/потолка floor(), ceil().

В системах вёрстки

В TeXLaTeX) для символов пола/потолка , , , существуют специальные команды: \lfloor, \rfloor, \lceil, \rceil. Поскольку wiki использует LaTeX для набора математических формул, то и в данной статье использованы именно эти команды.

Примечания

  1. Lemmermeyer, pp. 10, 23.
  2. Обозначение Гаусса использовали Cassels, Hardy & Wright и Ribenboim. Graham, Knuth & Patashnik и Crandall & Pomerance использовали обозначение Айверсона.
  3. Iverson, p. 12.
  4. Higham, p. 25.
  5. 1 2 Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 88.
  6. Weisstein, Eric W. Floor Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  7. 1 2 Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 90.
  8. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 89.
  9. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 90-91.
  10. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 93.
  11. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 108.
  12. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 112-117.
  13. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 91.
  14. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 95-96.
  15. Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. — С. 99-100.
  16. А. Баабабов. «Пентиум» хорошо, а ум лучше // Квант. — 1999. № 4. С. 36-38.

См. также

Литература

  • Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. М.: «Мир», 1998. — 703 с. ISBN 5-03-001793-3.
  • М. К. Потапов, В. В. Александров, П. И. Пасиченко. Алгебра и начала анализа. — АО Столетие, 1996.

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .




Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2024
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии