В математике, целая часть вещественного числа — округление до ближайшего целого в меньшую сторону. Целая часть числа также называется антье (фр. entier), или пол (англ. floor). Наряду с полом существует парная функция — потолок (англ. ceiling) — округление до ближайшего целого в большую сторону.
Впервые квадратные скобки ( ) для обозначения целой части числа использовал Гаусс в 1808 году в своём доказательстве закона квадратичной взаимности[1]. Это обозначение считалось стандартным[2], пока Кеннет Айверсон в своей книге «A Programming Language», опубликованной в 1962 году, не предложил[3][4][5] округление числа до ближайшего целого в меньшую и большую стороны называть «пол» и «потолок» и обозначать и соответственно.
В современной математике используются оба обозначения[6], и , однако существует тенденция перехода к терминологии и обозначениям Айверсона. Одна из причин этого — потенциальная неоднозначность понятия «целая часть числа»[5]. Например, целая часть числа 2,7 равна 2, но возможны два мнения на то, как определить целую часть числа −2,7. В соответствии с данным в этой статье определением , однако в некоторых калькуляторах имеется функция целой части числа INT, для отрицательных чисел определяемая как INT(-x) = -INT(x), так что INT(-2,7) = −2. В терминологии Айверсона отсутствуют возможные неоднозначности:
Функция пол определяется как наибольшее целое, меньшее или равное :
Функция потолок определяется как наименьшее целое, большее или равное :
Эти определения эквивалентны следующим неравенствам (где n — целое число):[7]
В формулах, записанных ниже, буквами и обозначены вещественные числа, а буквами и — целые.
Функции пол и потолок отображают множество вещественных чисел в множество целых чисел:
Пол и потолок — кусочно-постоянные функции.
Функции пол и потолок разрывны: во всех целочисленных точках терпят разрывы первого рода со скачком, равным единице.
При этом функция пол является:
Функция потолок является:
Для произвольного числа верно неравенство[8]
Для целого пол и потолок совпадают:
Если — не целое, то значение функции потолок на единицу больше значения функции пол:
Функции пол и потолок являются отражениями друг друга от обеих осей:
Любое неравенство между вещественным и целым числами равносильно неравенству с полом и потолком между целыми числами [7]:
Два верхних неравенства являются непосредственными следствиями определений пола и потолка, а два нижние — обращение верхних от противного.
Функции пол/потолок являются монотонно возрастающими функциями:
Целочисленное слагаемое можно вносить/выносить за скобки пола/потолка [9]:
Предыдущие равенства, вообще говоря, не выполняются, если оба слагаемых — вещественные числа. Однако и в этом случае справедливы неравенства:
Имеет место следующее предложение:[10]
Пусть — непрерывная монотонно возрастающая функция, определенная на некотором промежутке, обладающая свойством:
Тогда
всякий раз, когда определены .
В частности,
если и — целые числа, и .
Если — целые числа, , то [11]
Вообще, если — произвольное вещественное число, а — целое положительное, то
Имеет место более общее соотношение [12]:
Так как правая часть этого равенства симметрична относительно и , то справедлив следующий закон взаимности:
Тривиальным образом функция антье раскладывается в ряд с помощью функции Хевисайда:
где каждое слагаемое ряда создаёт характерные «ступеньки» функции. Этот ряд сходится абсолютно, однако ошибочное преобразование его слагаемых может привести к «упрощённому» ряду
который расходится.
Целочисленные функции пол/потолок находят широкое применение в дискретной математике и теории чисел. Ниже приведены некоторые примеры использования этих функций.
Количество цифр в записи целого положительного числа в позиционной системе счисления с основанием b равно [13]
Ближайшее к целое число может быть определено по формуле
Операция «остаток по модулю», обозначаемая , может быть определена с помощью функции пола следующим образом. Если — произвольные вещественные числа, и , то неполное частное от деления на равно
а остаток
Дробная часть вещественного числа по определению равна
Требуется найти количество целых точек в замкнутом промежутке с концами и , то есть количество целых чисел , удовлетворяющий неравенству
В силу свойств пол/потолка, это неравенство равносильно
Это есть число точек в замкнутом промежутке с концами и , равное .
Аналогично можно подсчитать количество целых точек в других типах промежутков. Сводка результатов приведена ниже [14].
(Через обозначена мощность множества ).
Первые три результата справедливы при всех , а четвёртый — только при .
Пусть и — положительные иррациональные числа, связанные соотношением [15]
Тогда в ряду чисел
каждое натуральное встречается в точности один раз. Иными словами, последовательности
называемые последовательностями Бетти , образуют разбиение натурального ряда.[16]
Во многих языках программирования существуют встроенные функции пола/потолка floor(), ceil().
В TeX (и LaTeX) для символов пола/потолка , , , существуют специальные команды: \lfloor, \rfloor, \lceil, \rceil. Поскольку wiki использует LaTeX для набора математических формул, то и в данной статье использованы именно эти команды.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .