WikiSort.ru - Не сортированное

Статистическая физика

${\displaystyle S=k_{B}\,\ln \Omega }$

Термодинамика Молекулярно-кинетическая теория

Статистики Максвелла-Больцмана Бозе-Эйнштейна · Ферми-Дирака Parastatistics · Энионная статистика Braid statistics

Ансамбли Микроканонический · Канонический Большой канонический Изотермо-изобарический Изоэнтальпи-изобарический

Термодинамика Уравнение состояния · Цикл Карно · Закон Дюлонга — Пти

Модели Модель Дебая · Эйнштейна · Модель Изинга

Потенциалы Внутренняя энергия · Энтальпия Свободная энергия Гельмгольца потенциал Гиббса · Большой термодинамический потенциал

Известные учёные Максвелл · Гиббс · Больцман

См. также: Портал:Физика

Статистика Фе́рми — Дира́ка в статистической физике — квантовая статистика, применяемая к системам тождественных фермионов (как правило, частиц с полуцелым спином, подчиняющихся принципу запрета Паули, то есть, одно и то же квантовое состояние не может занимать более одной частицы); определяет распределение вероятностей нахождения фермионов на энергетических уровнях системы, находящейся в термодинамическом равновесии; предложена в 1926 году итальянским физиком Энрико Ферми и одновременно английским физиком Полем Дираком, который выяснил её квантово-механический смысл; позволяет найти вероятность, с которой фермион занимает данный энергетический уровень.

Работы по статистике Ферми — Дирака были опубликованы в 1926 году, а в 1927 она была применена Арнольдом Зоммерфельдом к электронам в металле.

В статистике Ферми — Дирака среднее число частиц в состоянии с энергией ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ есть

${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{\exp \left({\dfrac {\varepsilon _{i}-\mu }{kT}}\right)+1}},}$

где

${\displaystyle n_{i}}$  — среднее число частиц в состоянии ${\displaystyle i}$ ,

${\displaystyle \varepsilon _{i}}$  — энергия состояния ${\displaystyle i}$ ,

${\displaystyle g_{i}}$  — кратность вырождения состояния ${\displaystyle i}$ (число состояний с энергией ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ),

${\displaystyle \mu }$  — химический потенциал (который равен энергии Ферми ${\displaystyle E_{F}}$ при абсолютном нуле температуры),

${\displaystyle k}$  — постоянная Больцмана,

${\displaystyle T}$  — абсолютная температура.

В (идеальном) ферми-газе в пределе низких температур ${\displaystyle \mu =E_{F}}$ . В этом случае (полагая уровни энергии невырожденными ${\displaystyle g_{i}=1}$ ), функция распределения частиц называется функцией Ферми:

${\displaystyle F(E)={\frac {1}{\exp \left({\dfrac {\varepsilon _{i}-E_{F}}{kT}}\right)+1}}.}$

Применение

Статистики Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна применяются в том случае, когда необходимо учитывать квантовые эффекты, когда частицы обладают «неразличимостью». Квантовые эффекты проявляются тогда, когда концентрация частиц ${\displaystyle N/V\geqslant n_{q}}$ (где ${\displaystyle n_{q}}$  — квантовая концентрация).

Квантовая концентрация — это концентрация, при которой расстояние между частицами соразмерно с длиной волны де Бройля, то есть когда волновые функции частиц соприкасаются, но не перекрываются. Квантовая концентрация зависит от температуры. Статистика Ферми — Дирака (Ф — Д) применяется к фермионам (частицы, на которые действует принцип Паули), статистика Бозе — Эйнштейна (Б — Э) применяется к бозонам. Оба этих распределения становятся распределением Максвелла — Больцмана при высоких температурах и низких концентрациях.

Распределением Максвелла — Больцмана часто описываются классические «различимые» частицы. Другими словами, конфигурация частицы ${\displaystyle A}$ в состоянии 1 и частицы ${\displaystyle B}$ в состоянии 2 отличается от конфигурации частицы ${\displaystyle B}$ в состоянии 1 и частицы ${\displaystyle A}$ в состоянии 2. Когда эта идея была проработана полностью, оказалось, что распределение частиц по энергетическим состояниям приводит к нефизическим результатам для энтропии, что известно, как парадокс Гиббса. Эта проблема исчезла, когда стал ясен тот факт, что все частицы неразличимы. И Ф — Д, и Б — Э приближаются к статистике Максвелла — Больцмана в пределе высоких температур и низких плотностей. Статистика Максвелла — Больцмана хорошо описывает поведение газов. Ф — Д часто используется для описания электронов в твердых телах, на ней, к примеру, базируются основные положения теории полупроводников в частности и электроники в целом.

Вывод распределения

Рассмотрим состояние частицы в системе, состоящей из множества частиц. Энергия такой частицы равна ${\displaystyle \varepsilon }$ . Например, если наша система — это некий квантовый газ в «ящике», то подобное состояние может описываться частной волновой функцией. Известно, что для большого канонического ансамбля, функция распределения имеет вид

${\displaystyle Z=\sum _{s}e^{-(E(s)-\mu N(s))/kT},}$

где

${\displaystyle E(s)}$  — энергия состояния ${\displaystyle s}$ ,

${\displaystyle N(s)}$  — число частиц, находящихся в состоянии ${\displaystyle s}$ ,

${\displaystyle \mu }$  — химический потенциал,

${\displaystyle s}$  — это индекс, пробегающий все возможные микросостояния системы.

В данном контексте, система имеет фиксированные состояния. Итак, если какое либо состояние занято ${\displaystyle n}$ частицами, то энергия системы — ${\displaystyle n\cdot \varepsilon }$ . Если состояние свободно, то энергия имеет значение 0. Будем рассматривать равновесные одночастичные состояния как резервуар. После того, как система и резервуар займут одно и то же физическое пространство, начинает происходить обмен частицами между двумя состояниями (фактически, это явление мы и исследуем). Отсюда становится ясно, почему используется описанная выше функция распределения, которая, через химический потенциал, учитывает поток частиц между системой и резервуаром.

Для фермионов, каждое состояние может быть либо занято одной частицей, либо свободно. Поэтому, наша система имеет два множества: занятых (разумеется, одной частицей) и незанятых состояний, обозначающихся ${\displaystyle s_{1}}$ и ${\displaystyle s_{2}}$ соответственно. Видно, что ${\displaystyle E(s_{1})=\varepsilon }$ , ${\displaystyle N(s_{1})=1}$ , и ${\displaystyle E(s_{2})=0}$ , ${\displaystyle N(s_{2})=0}$ . Поэтому функция распределения принимает вид:

${\displaystyle Z=\sum _{i=1}^{2}e^{-(E(s_{i})-\mu N(s_{i}))/kT}=e^{-(\varepsilon -\mu )/kT}+1.}$

Для большого канонического ансамбля, вероятность того, что система находится в микросостоянии ${\displaystyle s_{\alpha }}$ вычисляется по формуле

${\displaystyle P(s_{\alpha })={\frac {e^{-(E(s_{\alpha })-\mu N(s_{\alpha }))/kT}}{Z}}.}$

Наличие состояния, занятого частицей, означает, что система находится в микросостоянии ${\displaystyle s_{1}}$ , вероятность которого

${\displaystyle {\bar {n}}=P(s_{1})={\frac {e^{-(E(s_{1})-\mu N(s_{1}))/kT}}{Z}}={\frac {e^{-(\varepsilon -\mu )/kT}}{e^{-(\varepsilon -\mu )/kT}+1}}={\frac {1}{e^{(\varepsilon -\mu )/kT}+1}}.}$

${\displaystyle {\bar {n}}}$ называется распределением Ферми — Дирака. Для фиксированной температуры ${\displaystyle T}$ , ${\displaystyle {\bar {n}}(\varepsilon )}$ есть вероятность того, что состояние с энергией ${\displaystyle \varepsilon }$ будет занято фермионом. Обратите внимание, что ${\displaystyle {\bar {n}}}$ является убывающей функцией от ${\displaystyle \varepsilon }$ . Это соответствует нашим ожиданиям: высокоэнергетические состояния занимаются с меньшей вероятностью.

Обратите внимание, что энергетический уровень ${\displaystyle \varepsilon }$ имеет вырождение ${\displaystyle g_{\varepsilon }}$ . Теперь можно произвести простую модификацию:

${\displaystyle {\bar {n}}=g_{\varepsilon }\cdot {\frac {1}{e^{(\varepsilon -\mu )/kT}+1}}.}$

Это число — ожидаемое число частиц, в суммарном состоянии с энергией ${\displaystyle \varepsilon }$ .

Для всех температур ${\displaystyle T}$ , ${\displaystyle {\bar {n}}(\mu )={\frac {1}{2}}}$ . Это означает, что состояния с энергией ${\displaystyle \mu }$ всегда будут иметь одинаковую вероятность быть заполненными или свободными.

В пределе ${\displaystyle T\to 0}$ , ${\displaystyle {\bar {n}}}$ становится ступенчатой функцией (см. первый график). Все состояния с энергией меньше химического потенциала ${\displaystyle \mu }$ будут заняты с вероятностью 1. Состояния с энергией выше химического потенциала ${\displaystyle \mu }$ будут свободны. Химический потенциал при нулевой температуре — энергия Ферми, обозначается ${\displaystyle E_{F}}$ , то есть ${\displaystyle E_{F}=\mu (T=0).}$

Влияние температуры

Необходимо заметить, что химический потенциал зависит от температуры. Однако для систем, имеющих температуру ниже температуры Ферми ${\displaystyle T_{F}={\frac {E_{F}}{k_{B}}}}$ , что часто используется, как аппроксимация, ${\displaystyle \mu \approx E_{F}}$ . В реальности же:

${\displaystyle \mu =E_{F}\sum _{n=0,1,2\dots }{\left[(-1)^{n}{\frac {\pi ^{2n}}{2^{2n}(2n+1)}}\left({\frac {k_{B}T}{E_{F}}}\right)^{2n}\right]}=E_{F}\left[1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\left({\frac {k_{B}T}{E_{F}}}\right)^{2}+{\frac {\pi ^{4}}{80}}\left({\frac {k_{B}T}{E_{F}}}\right)^{4}+\ldots \right].}$

Другой вывод

См. также

• Интеграл Ферми-Дирака
• Статистика Бозе — Эйнштейна
• Статистика Максвелла — Больцмана
• Распределение Максвелла
• Закон Видемана — Франца

В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 26 октября 2017 года.