WikiSort.ru - Не сортированное

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте

Теоре́ма Э́мми Нётер — теорема, доказанная Эмми Нётер в 1918 году. Была впервые определена в работах учёных гёттингенской школы Д. Гильберта, Ф. Клейна и самой Эмми Нётер.

Общие сведения

Симметрия в физике
Преобразование	Соответствующая инвариантность	Соответствующий закон сохранения
↕ Трансляции времени	Однородность времени	…энергии
⊠ C, P, CP и T-симметрии	Изотропность времени	…чётности
↔ Трансляции пространства	Однородность пространства	…импульса
↺ Вращения пространства	Изотропность пространства	…момента импульса
⇆ Группа Лоренца (бусты)	Относительность Лоренц-ковариантность	…движения центра масс
~ Калибровочное преобразование	Калибровочная инвариантность	…заряда

Теорема Нётер утверждает, что каждой непрерывной симметрии физической системы соответствует некоторый закон сохранения:

однородности времени соответствует закон сохранения энергии,
однородности пространства соответствует закон сохранения импульса,
изотропии пространства соответствует закон сохранения момента импульса,
калибровочной симметрии соответствует закон сохранения электрического заряда и т. д.

Теорема обычно формулируется для систем, обладающих функционалом действия, и выражает собой инвариантность лагранжиана по отношению к некоторой непрерывной группе преобразований.

Если действие инвариантно относительно n-параметрической непрерывной группы преобразований, то существует n независимых законов сохранения.

Теорема Нётер формулирует достаточное условие существования законов сохранения. Однако это условие не является необходимым, поэтому могут существовать законы сохранения, не следующие из неё (такие примеры известны)^[1]. Известна теорема, формулирующая необходимые и достаточные условия существования законов сохранения^[2].

Формулировка

Первая теорема Нётер

Если интеграл действия $S$ инвариантен по отношению к некоторой $r$ -параметрической конечной группе Ли $G_{r}$ , то $r$ линейно независимых комбинаций лагранжевых производных (левые части уравнений Лагранжа-Эйлера) обращаются в дивергенции; и обратно, из последнего условия вытекает инвариантность $S$ по отношению к некоторой группе $G_{r}$ ^[3].

В теоретической физике выражения, стоящие под знаком дивергенций, называются токами. Если лагранжевы производные равны нулю (выполняются уравнения Эйлера), то дивергенции токов обращаются в нуль. Следствием этого являются дифференциальные законы сохранения. Интегральные законы сохранения типа закона сохранения электрического заряда или закона сохранения энергии получаются при интегрировании дифференциальных законов сохранения по специальным образом выбранной 3-мерной гиперповерхности при определённых граничных условиях^[4].

Первая обратная теорема Нётер

Если $r$ линейно независимых комбинаций лагранжевых производных (левые части уравнений Лагранжа-Эйлера) обращаются в дивергенции, то интеграл действия инвариантен относительно $r$ -параметрической конечной группы Ли^[4].

Вторая теорема Нётер

Обобщением первой теоремы Нётер для случая функционалов, инвариантных относительно произвольных бесконечных групп Ли $G_{\infty r}$ , является вторая теорема Нётер.

Если интеграл действия $S$ инвариантен по отношению к некоторой $r$ - параметрической бесконечной группе Ли $G_{\infty r}$ , в которой встречаются производные до $k$ -го порядка включительно, то имеет место $r$ тождественных соотношений между лагранжевыми производными и производными от них до $k$ -го порядка. Обратное тоже верно.^[3]

Вторая обратная теорема Нётер

Если имеет место $r$ тождественных соотношений между лагранжевыми производными и производными от них до $k$ -го порядка включительно, то интеграл действия инвариантен относительно бесконечной группы Ли $G_{\infty r}$ , преобразования которой содержат производные до $k$ -го порядка ^[4].

Классическая механика

Каждой однопараметрической группе диффеоморфизмов $g^{s}(q_{i})$ , сохраняющих функцию Лагранжа, соответствует первый интеграл системы, равный

I=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {d}{ds}}g^{s}(q_{i})\right){\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}{\Bigg |}_{s=0}

В терминах инфинитезимальных преобразований, пусть инфинитезимальное преобразование координат имеет вид

g^{s}({\vec {q}})={\vec {q}}_{0}+s{\vec {\psi }}({\vec {q}},\;t)

и функция Лагранжа $L(q,\;{\dot {q}},\;t)$ инвариантна относительно этих преобразований, то есть

{\frac {d}{ds}}L({\vec {q}}_{0}+s{\vec {\psi }}({\vec {q}},\;t),\;{\dot {{\vec {q}}_{0}}}+s{\dot {\vec {\psi }}}({\vec {q}},\;t),\;t)=0

при

s=0.

Тогда у системы существует первый интеграл, равный

I=\left({\vec {\psi }}({\vec {q}},\;t);\;{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\vec {q}}}}}\right)=\sum _{i=1}^{n}\psi _{i}({\vec {q}},\;t){\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.

Теорему можно обобщить на случай преобразований, затрагивающих также и время, если представить её движение как зависящее от некоторого параметра $\tau$ , причем в процессе движения $t=\tau$ . Тогда из преобразований

g^{s}({\vec {q}})={\vec {q}}_{0}+s{\vec {\psi }}({\vec {q}},\;t),

g^{s}(t)=t_{0}+s\xi ({\vec {q}},\;t),

следует первый интеграл

I=\xi L+\left({\vec {\psi }}-\xi {\dot {\vec {q}}};\;{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\vec {q}}}}}\right).

Теория поля

Теорема Нётер допускает прямое обобщение на случаи систем с бесконечным числом степеней свободы, примером которых являются гравитационное и электромагнитное поле. А именно, пусть функция Лагранжа системы зависит от $n$ потенциалов, зависящих, в свою очередь, от $k$ координат. Функционал действия будет иметь вид

S=\int L(A^{i},\;\partial _{\mu }A^{i},\;x^{\mu })\,d\Omega ,\quad i=1,\ldots ,\;n,\quad \mu =1,\;\ldots ,\;k,\quad d\Omega =dx^{1}\ldots dx^{k}.

Пусть однопараметрическая группа $g^{s}$ диффеоморфизмов пространства потенциалов сохраняет функцию Лагранжа, тогда сохраняется вектор

J^{\mu }=\left({\frac {d}{ds}}g^{s}A^{i}\right){\frac {\partial L}{\partial (\partial _{\mu }A^{i})}},

называемый вектором потока Нётер. По повторяющимся индексам подразумевается суммирование, $\partial _{\mu }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}$ . Смысл сохранения вектора потока Нётер в том, что

\ \partial _{\mu }J^{\mu }=0,

поэтому поток $J$ через любую замкнутую поверхность в пространстве координат равен 0. В частности, если выделить среди координат одну, называемую временем, и рассмотреть гиперплоскости постоянного времени, то поток $J$ через такую гиперплоскость постоянен во времени, при условии достаточно быстрого спадения поля на бесконечности и некомпактности гиперповерхности, чтобы поток вектора через боковую границу области пространства между двумя гиперповерхностями был равен 0. В классической теории поля таким свойством обладает, например, тензор энергии-импульса для электромагнитного поля. В вакууме лагранжиан поля не зависит явно от координат, поэтому имеется сохраняющаяся величина, ассоциируемая с потоком энергии-импульса.

Дифференциальные уравнения

Пусть имеется вариационная задача с функционалом действия $S=\int L({\vec {u}},{\vec {x}},\dots )\,d{\boldsymbol {x}}$ . Здесь $L$ — лагранжиан, $x$ — независимые переменные, $u$ — зависимые переменные, то есть функции от $x$ . $L$ может зависеть также и от производных $u$ по $x$ , не обязательно только первого порядка.

Вариационная задача для такого функционала приводит к дифференциальным уравнениям Эйлера-Лагранжа, которые можно записать в виде

\mathrm {E_{\alpha }} (L)=0~,~\alpha =1\dots q,

где $\mathrm {E}$ — операторы Эйлера-Лагранжа:

\mathrm {E_{\alpha }} ={\frac {\partial }{\partial u_{\alpha }}}-\sum _{i=1}^{p}{\frac {d}{dx_{i}}}{\frac {\partial }{\partial u_{x_{i}}^{\alpha }}}+\dots ,

$u_{x_{i}}^{\alpha }$ — производная функции $u^{\alpha }$ по переменной $x_{i}$ . Многоточие означает, что если $L$ зависит от производных порядка выше первого, то нужно добавить соответствующие слагаемые в $\mathrm {E}$ . В компактной записи

\mathrm {E_{\alpha }} =\sum _{J}(-D)_{J}{\frac {\partial }{\partial u_{J}^{\alpha }}}

,

где $J$ — мультииндекс. Суммирование ведётся по всем слагаемым таким, что производная $u_{J}^{\alpha }$ входит в $L$ .

Теорема Нётер связывает так называемые вариационные симметрии функционала $S$ с законами сохранения, выполняющимися на решениях уравнений Эйлера-Лагранжа.

Законы сохранения

Закон сохранения для системы дифференциальных уравнений — это выражение вида

\mathrm {Div} {\vec {P}}=0,

которое справедливо на решениях этой системы, то есть такое, что если подставить в него эти дифференциальные уравнения, получится тождество. В данном случае рассматриваются дифференциальные уравнения Эйлера-Лагранжа. Здесь $\mathrm {Div}$ — полная дивергенция (дивергенция с полными производными) по $x$ . ${\vec {P}}$ — гладкие функции $u$ , $x$ и производных $u$ по $x$ .

Тривиальными законами сохранения называются законы сохранения

для которых $\mathrm {Div} {\vec {P}}=0$ само по себе является тождеством без учёта каких-либо дифференциальных уравнений;
или для которых ${\vec {P}}$ обращается в 0 сразу при подстановке дифференциальных уравнений, без вычисления дивергенции (сохраняется тождественный ноль на решениях);
или для которых ${\vec {P}}$ есть линейная комбинация предыдущих типов.

Если для двух законов сохранения с функциями ${\vec {P}}$ и ${\vec {R}}$ разность ${\vec {P}}-{\vec {R}}$ даёт тривиальный закон сохранения, такие два закона сохранения называются эквивалентными.

Всякий закон сохранения эквивалентен закону сохранения в характеристической форме — то есть такому, для которого

\mathrm {Div} {\vec {P}}={\vec {Q}}\cdot {\vec {\Delta }},

где $\Delta$ — выражения, которые входят в определение системы дифференциальных уравнений: ${\vec {\Delta }}=0$ . Для описываемого случая $\Delta _{\alpha }=E_{\alpha }(L)$ и

\mathrm {Div} {\vec {P}}=\sum _{\alpha }Q_{\alpha }E_{\alpha }(L).

$Q_{\alpha }$ зависят от $u$ , $x$ и производных $u$ по $x$ и называются характеристиками закона сохранения.

Вариационные симметрии

Пусть имеется обобщённое векторное поле

{\vec {v}}=\sum _{i=1}^{p}\xi ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\sum _{\alpha =1}^{q}\varphi _{\alpha }{\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}.

«Обобщённое» понимается в том смысле, что $\xi$ и $\varphi$ могут зависеть не только от $u$ и $x$ , но и от производных $u$ по $x$ .

Определение: ${\vec {v}}$ называется вариационной симметрией функционала $S$ , если существует набор функций ${\vec {\mathrm {B} }}({\vec {u}},{\vec {x}},\dots )$ такой, что

\mathrm {pr} \,{\vec {v}}(L)+L\,\mathrm {Div} \,{\vec {\xi }}=\mathrm {Div} \,{\vec {\mathrm {B} }}.

$\mathrm {pr} \,{\vec {v}}$ — продолжение ${\vec {v}}$ . Продолжение учитывает, что действие ${\vec {v}}$ на $u$ и $x$ вызывает также инфинитезимальное изменение производных, и задаётся формулами

\mathrm {pr} \,{\vec {v}}={\vec {v}}+\sum _{\alpha ,J}\varphi _{\alpha }^{J}{\frac {\partial }{\partial u_{J}^{\alpha }}}~,~\varphi _{\alpha }^{J}=D_{J}{\bigl (}\varphi _{\alpha }-\sum _{i}\xi ^{i}u_{i}^{\alpha }{\bigr )}.

В формуле для продолжения необходимо брать, кроме ${\vec {v}}$ , слагаемые с такими $\partial /\partial u_{J}^{\alpha }$ , для которых $u_{J}^{\alpha }$ входят в $L$ или, в общем случае, в то выражение, на которое продолжение действует.

Смысл определения вариационной симметрии состоит в том, что ${\vec {v}}$ — это инфинитезимальные преобразования, которые в первом порядке меняют функционал $S$ таким образом, что уравнения Эйлера-Лагранжа преобразуются в эквивалентные. Справедлива

теорема: если ${\vec {v}}$ является вариационной симметрией, то ${\vec {v}}$ является (обобщённой) симметрией уравнений Эйлера-Лагранжа:

\mathrm {pr} \,{\vec {v}}\,\mathrm {E} _{\alpha }(L)\vert _{\mathrm {E} _{\alpha }(L)=0}=0.

Эта формула означает, что инфинитезимальные изменения выражений $\mathrm {E} _{\alpha }(L)$ , записанные здесь в виде $\mathrm {pr} \,{\vec {v}}\,\mathrm {E} _{\alpha }(L)$ , обращаются в 0 на решениях.

Характеристики векторных полей

Набор функций $Q_{\alpha }=\varphi _{\alpha }-\sum _{i}\xi ^{i}u_{i}^{\alpha }$ (в обозначениях, данных выше) называется характеристикой векторного поля ${\vec {v}}$ . Вместо ${\vec {v}}$ можно брать векторное поле

{\vec {v}}_{Q}=\sum _{\alpha }Q_{\alpha }{\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}},

которое называется эволюционным представителем ${\vec {v}}$ .

${\vec {v}}$ и ${\vec {v}}_{Q}$ определяют по сути одну и ту же симметрию, поэтому, если известны характеристики $Q_{\alpha }$ , можно считать, что тем самым задана и симметрия. Продолжение ${\vec {v}}_{Q}$ определяется аналогично продолжению ${\vec {v}}$ , но формально проще, поскольку не нужно отдельно учитывать вклад от $\xi$ .

Теорема Нётер устанавливает связь между характеристиками законов сохранения и характеристиками векторных полей.

Теорема Нётер

Обобщённое векторное поле ${\vec {v}}$ определяет группу симметрий функционала $S$ в том и только в том случае, если его характеристика ${\vec {Q}}$ является характеристикой закона сохранения $\mathrm {Div} {\vec {P}}=0$ для соответствующих уравнений Эйлера-Лагранжа.

Законы сохранения

В классической механике законы сохранения энергии, импульса и момента импульса выводятся из однородности/изотропности лагранжиана системы — лагранжиан (функция Лагранжа) не меняется со временем сам по себе и не изменяется переносом или поворотом системы в пространстве. По сути это означает то, что при рассмотрении некой замкнутой в лаборатории системы будут получены одни и те же результаты — вне зависимости от расположения лаборатории и времени проведения эксперимента. Другие симметрии лагранжиана системы, если они есть, соответствуют другим сохраняющимся в данной системе величинам (интегралам движения); например, симметрия лагранжиана гравитационной и кулоновской задачи двух тел приводит к сохранению не только энергии, импульса и момента импульса, но и вектора Лапласа — Рунге — Ленца.

Приложения

Теорема Нётер позволяет получать значительную информацию о свойствах решений системы дифференциальных уравнений, основываясь лишь на их симметрии. Она также является одним из методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, так как позволяет в некоторых случаях находить первые интегралы системы уравнений и таким образом понижать число неизвестных функций. Например:

Сохранение импульса системы следует из её инвариантности относительно пространственных сдвигов. Конкретнее, если сдвиг вдоль оси X не меняет систему уравнений, то сохраняется импульс $p_{x}$ вдоль этой оси.
Сохранение момента импульса следует из инвариантности системы относительно вращений пространства.
Закон сохранения энергии — это следствие однородности времени, позволяющей произвольным образом сдвигать начало отсчёта времени.

В случае уравнений в частных производных необходимо, вообще говоря, искать бесконечное число первых интегралов. Даже зная их, обычно нелегко выписать общее решение.

В силу своей фундаментальности, теорема Нётер используется в таких областях физики, как квантовая механика, для самого введения понятий импульса, момента импульса и т. д. Инвариантность уравнений относительно некоторых симметрий становится единственной сутью этих величин и гарантирует их сохранение.

В квантовой теории поля аналогом теоремы Нётер являются тождества Уорда — Такахаси (англ.), позволяющие получить дополнительные законы сохранения. Например, закон сохранения электрического заряда следует из инвариантности физической системы относительно изменения фазы комплексной волновой функции частицы и соответствующей калибровки векторного и скалярного потенциала электромагнитного поля.

Заряд Нётер также используется для вычисления энтропии стационарной чёрной дыры^[5].

Примечания

↑ В. А. Дородницын, Г. Г. Еленин Симметрия нелинейных явлений // Компьютеры и нелинейные явления. - М., Наука, 1988. - с. 168
↑ Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. - М., Наука, 1983. - с. 229
1 2 Эмми Нётер Инвариантные вариационные задачи // Вариационные принципы механики / под ред. Полак Л. С. — М., Физматлит, 1959. — с. 613-614
1 2 3 Коноплёва Н. П., Попов В. Н. Калибровочные поля. — М., Атомиздат, 1980. — c. 56, 69, 70
↑ Calculating the entropy of stationary black holes. (англ.)

Литература

Арнольд В. И. Математические методы классической механики, изд. 5-ое, — М.: Едиториал УРСС, 2003, ISBN 5-354-00341-5
Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. — М.: Наука, 280 с., 1983 г.
Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. — М.: Наука, 228 с., 1961 г.

Ссылки

Перевод статьи Нётер на английский
Статья о Теореме Нётер, by John Baez (англ.)
E. Noether’s Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws by Nina Byers^[en]
Теорема Нётер на MathPages. (англ.)
Symmetric energy-momentum tensor in Maxwell, Yang-Mills, and Proca theories obtained using only Noether’s theorem. (англ.)
Giachetta G., Mangiarotti L., Sardanashvily G. On the notion of gauge symmetries of generic Lagrangian field theory. — J. Math. Phys. 50 (2009) 012903; arXiv 0807.3003.

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2024
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[1] В. А. Дородницын, Г. Г. Еленин Симметрия нелинейных явлений // Компьютеры и нелинейные явления. - М., Наука, 1988. - с. 168

[2] Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. - М., Наука, 1983. - с. 229

[Neter-3] 1 2 Эмми Нётер Инвариантные вариационные задачи // Вариационные принципы механики / под ред. Полак Л. С. — М., Физматлит, 1959. — с. 613-614

[Kon-4] 1 2 3 Коноплёва Н. П., Попов В. Н. Калибровочные поля. — М., Атомиздат, 1980. — c. 56, 69, 70

[5] Calculating the entropy of stationary black holes. (англ.)