Гамильтониа́н ( или H) в квантовой теории — оператор полной энергии системы (ср. Функция Гамильтона). Название «гамильтониан», как и название «функция Гамильтона», происходит от фамилии ирландского математика Уильяма Роуэна Гамильтона.
Его спектр — это множество возможных значений при измерении полной энергии системы. Спектр гамильтониана может быть дискретным или непрерывным. Также может быть ситуация (например, для кулоновского потенциала), когда спектр состоит из дискретной и непрерывной части.
Так как энергия — вещественная величина, гамильтониан является самосопряжённым оператором.
Гамильтониан генерирует временную эволюцию квантовых состояний. Если — состояние системы в момент времени t, то
Это уравнение называется уравнением Шрёдингера (оно выглядит так же, как и уравнение Гамильтона — Якоби в классической механике). Зная состояние в начальный момент времени (t = 0), мы можем решить уравнение Шрёдингера и получить вектор состояния в любой последующий момент времени. В частности, если H не зависит от времени, то
Оператор экспоненты в правой части уравнения Шрёдингера определяется через степенной ряд по H.
По свойству *-гомоморфизма, оператор
унитарен. Это оператор временной эволюции, или пропагатор замкнутой квантовой системы.
Если гамильтониан не зависит от времени, {U(t)} образует однопараметрическую группу; отсюда следует принцип детального равновесия.
Если у частицы нет потенциальной энергии, то гамильтониан самый простой. Для одного измерения:
и для трёх измерений:
Для частицы в постоянном потенциале V = V0 (нет зависимости от координаты и времени) в одном измерении гамильтониан такой:
В трёх измерениях:
Для простого гармонического осциллятора в одном измерении потенциал зависит от координаты (но не от времени) как
где угловая частота коэффициент упругости k и масса m осциллятора удовлетворяют соотношению
поэтому гамильтониан имеет вид
Для трёх измерений гамильтониан принимает вид
где трёхмерный радиус-вектор r, его модуль определяется так:
Полный гамильтониан — это сумма одномерных гамильтонианов:
В классической теории поля роль обобщённых координат играют функции поля в каждой точке пространства-времени, в квантовой теории поля они становятся операторами. Для системы взаимодействующих полей гамильтониан представляет собой сумму операторов энергии свободных полей и энергии их взаимодействия. В отличие от лагранжиана, гамильтониан не даёт явно релятивистски-инвариантного описания системы — энергия в разных инерциальных системах отсчёта различна, хотя для релятивистских систем эта инвариантность может быть доказана.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .