WikiSort.ru - Не сортированное

Общие положения

В некоторых случаях бесконечно вложенные радикалы могут быть тождественны некоторому рациональному числу, например выражение

${\displaystyle x={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}}}}$

равно 2. Для того чтобы это увидеть, возведем обе части выражения в квадрат и отнимем 2:

${\displaystyle x^{2}-2={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}=x}$ ;

${\displaystyle x^{2}-x-2=0}$ ;

${\displaystyle x_{1}=2,x_{2}=-1}$ .

Очевидно, что ${\displaystyle -1}$ не может являться значением исходного радикала. В общем случае:

${\displaystyle {\sqrt {a+{\sqrt {a+{\sqrt {a+{\sqrt {a+\cdots }}}}}}}}={\frac {1+{\sqrt {1+4a}}}{2}}}$

Тривиальные случаи

• Для квадратного корня:

  ${\displaystyle {\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {\cdots }}}}}}}}}}={\frac {b+{\sqrt {b^{2}+4a}}}{2}}}$ ;

• Для корня степени ${\displaystyle n}$

  ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a+b{\sqrt[{n}]{a+b{\sqrt[{n}]{a+b{\sqrt[{n}]{a+b{\sqrt[{n}]{\cdots }}}}}}}}}}=x,}$

  где ${\displaystyle x}$ является решением уравнения ${\displaystyle x^{n}-bx-a=0}$ .

Нетривиальные случаи

• Формула Рамануджана:

  ${\displaystyle x+n+a={\sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\sqrt {a(x+2n)+(n+a)^{2}+(x+2n){\sqrt {\cdots }}}}}}}}}$

Частные случаи

• Золотое сечение:

  ${\displaystyle \phi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {\cdots }}}}}}}}}$

• Пластическое число:

  ${\displaystyle \rho ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{\cdots }}}}}}}}}$

• Число Пи:

  ${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots }$