WikiSort.ru - Не сортированное

Замечания

Для общего поля определение ориентации представляет трудности. Например, в комплексном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ комплексный базис ${\displaystyle e_{1},e_{2},...,e_{n}}$ определяет вещественный базис ${\displaystyle e_{1},e_{2},...,e_{n},ie_{1},ie_{2},...,ie_{n}}$ в том же пространстве, рассматриваемом как ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ , и все такие базисы связаны попарно положительными переходами (иначе говоря, комплексная структура задаёт ориентацию в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ).

Аффинное пространство

На прямой, плоскости и вообще в вещественном аффинном пространстве ${\displaystyle A}$ системы координат состоят из точки (начала ${\displaystyle O}$ ) и репера ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ , переход определяется вектором переноса начала и заменой репера. Этот переход положителен, если положителен определитель матрицы замены (например, при чётной перестановке векторов репера).

Две системы координат определяют одну и ту же ориентацию, если одну из них можно перевести в другую непрерывно, то есть существует непрерывно зависящее от параметра ${\displaystyle t\in [0,1]}$ семейство координатных систем ${\displaystyle O(t)}$ , ${\displaystyle \{e_{i}(t)\}}$ , связывающее данные системы ${\displaystyle O}$ , ${\displaystyle \{e_{i}\}}$ и ${\displaystyle O'}$ , ${\displaystyle \{e'_{i}\}}$ .

При отражении в гиперплоскости системы двух классов переходят друг в друга.

Ориентация может быть задана порядком вершин ${\displaystyle n}$ -мерного симплекса (треугольника в двумерном случае, тетраэдра в трёхмерном), Репер определяется условием: в первую вершину помещается начало, в остальные из первой направляются векторы репера. Два порядка задают одну ориентацию, тогда и только тогда, когда они отличаются на чётную перестановку. Симплекс с фиксированным с точностью до чётной перестановки порядком вершин называется ориентированным. Каждая ${\displaystyle (n-1)}$ -грань ориентированного симплекса получает индуцированную ориентацию: если первая вершина не принадлежит грани, то порядок остальных принимается для неё за положительный.

Многообразия

В связном многообразии ${\displaystyle M}$ системой координат служит атлас — набор карт, покрывающих ${\displaystyle M}$ . Атлас называется ориентирующим, если координатные преобразования все положительны. Это означает, что их степени равны ${\displaystyle +1}$ , а в случае дифференцируемого многообразия положительны якобианы преобразования во всех точках. Если ориентирующий атлас существует, то многообразие ${\displaystyle M}$ называется ориентируемым. В этом случае все ориентирующие атласы распадаются на два класса, так что переход от карт одного атласа к картам другого положителен, тогда и только тогда, когда атласы принадлежат одному классу. Выбор такого класса называется ориентацией многообразия. Этот выбор может быть сделан указанием одной карты или локальной ориентации в точке. В случае дифференцируемого многообразия локальную ориентацию можно задать указанием репера в касательной плоскости в точке. Если ${\displaystyle M}$ имеет край и ориентировано, то край также ориентируем, например по правилу: в точке края берётся репер, ориентирующий ${\displaystyle M}$ , первый вектор которого направлен из ${\displaystyle M}$ , а остальные векторы лежат в касательной плоскости края, эти последние и принимаются за ориентирующий репер края.

Псевдомногообразия

Триангулированное многообразие ${\displaystyle M}$ (или псевдомногообразие) ориентируемо, если можно ориентировать все ${\displaystyle n}$ -мерные симплексы так, что два симплекса с общей ${\displaystyle (n-1)}$ -мерной гранью индуцируют на ней противоположные ориентации. Замкнутая цепочка ${\displaystyle n}$ -мерных симплексов, каждые два соседа в которой имеют общую ${\displaystyle (n-1)}$ -грань, называется дезориентирующей, если эти симплексы могут быть ориентированы так, что первый и последний симплексы индуцируют на общей грани совпадающие ориентации, а остальные соседи — противоположные.

Расслоения

Пусть над пространством ${\displaystyle B}$ задано расслоение ${\displaystyle p:E\to B}$ со стандартным слоем ${\displaystyle F}$ . Если ориентацию всех слоев можно выбрать так, что любое (собственное) отображение, определённое путём в ${\displaystyle B}$ однозначно с точностью до собственной гомотопии, сохраняет ориентацию, то расслоение называется ориентированным, а указанный выбор ориентации слоёв — ориентацией расслоения. Например, лист Мёбиуса, рассматриваемый как векторное расслоение над окружностью, не обладает ориентацией, в то время как боковая поверхность цилиндра — обладает.

Бесконечномерные пространства

Понятие ориентации допускает естественное обобщение и для случая бесконечномерного многообразия, моделированного при помощи бесконечномерного банахова или топологического векторного пространства. При этом необходимы ограничения на линейные операторы, являющиеся дифференциалами функций перехода от карты к карте: они должны не просто принадлежать общей линейной группе всех изоморфизмов моделирующего пространства, которая гомотопически тривиальна (в равномерной топологии) для большинства классических векторных пространств, а содержаться в некоторой линейно несвязной подгруппе общей линейной группы. Тогда компонента связности данной подгруппы и будет задавать «знак» ориентации. В качестве такой подгруппы обычно выбирается фредгольмова группа, состоящая из тех изоморфизмов моделирующего пространства, для которых разность с тождественным изоморфизмом есть вполне непрерывный оператор.