WikiSort.ru - Не сортированное

Зацепление Хопфа — простейшее нетривиальное зацепление с двумя и более компонентами ^[1], состоит из двух окружностей, зацеплённых однократно^[2] и названо по имени Хайнца Хопфа^[3].

Геометрическое представление

Конкретная модель состоит из двух единичных окружностей в перпендикулярных плоскостях, таких что каждая проходит через центр другой^[2]. Эта модель минимизирует длину верёвки^[en] (длина верёвки — инвариант теории узлов) зацепления и до 2002 года зацепление Хопфа являлось единственным, у которого длина верёвки была известна ^[4]. Выпуклая оболочка этих двух окружностей образует тело, называемое олоидом^[5].

Свойства

В зависимости от относительной ориентации^[en] двух компонент коэффициент зацепления Хопфа равен ±1^[6].

Зацепления Хопфа является (2,2)-торическим зацеплением^[7] с описывающим словом^[8] ${\displaystyle \sigma _{1}^{2}}$ .

Дополнение^[en] зацепления Хопфа — ${\displaystyle \mathbb {R} \times S^{1}\times S^{1}}$ , цилиндр над тором^[9]. Это пространство имеет локально евклидову геометрию, так что зацепление Хопфа не является гиперболическим. Группа узлов зацепления Хопфа (фундаментальная группа его дополнения) — это ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ (свободная абелева группа на двух генераторах) и она отличает зацепление Хопфа от двух незацеплённых окружностей, которым соответствует свободная группа на двух генераторах^[10].

Зацепление Хопфа не может быть раскрашено в три цвета. Это непосредственно следует из факта, что зацепление можно раскрасить лишь в два цвета, что противоречит второй части определения раскраски. В каждом пересечении будет максимум 2 цвета, так что при раскраске мы нарушим требование иметь 1 или 3 цвета в каждом пересечении, либо нарушим требование иметь более 1 цвета.

Расслоение Хопфа

Расслоение Хопфа — это непрерывное отображение из 3-сферы (трёхмерная поверхность в четырёхмерном евклидовом пространстве) в более привычную 2-сферу, такое, что прообраз каждой точки на 2-сфере является окружностью. Таким образом получается разложение 3-сферы на непрерывное семейство окружностей и каждые две различных окружности из этого семейства образуют зацепление Хопфа. Этот факт и побудил Хопфа заняться изучением зацеплений Хопфа — поскольку любые два слоя зацеплены, расслоение Хопфа является нетривиальным расслоением^[en]. С этого началось изучение гомотопических групп сфер^[11].

История

Зацепление названо именем тополога Хайнца Хопфа, исследовавшего его в 1931 году в работе по расслоению Хопфа^[12]. Однако такое зацепление использовал ещё Гаусс^[3], а вне математики оно встречалось задолго до этого, например, в качестве герба японской буддийской секты Бузан-ха^[en], основанной в XVI столетии.

См. также

• Катенаны, химические соединения с двумя механически сцеплёнными молекулами
• Узел Соломона, два кольца с двойным зацеплением

Примечания

Литература

• Прасолов В. В., Сосинский А. Б.  Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия. — М.: МЦНМО, 1997. — ISBN 5-900916-10-3.
• Adams, Colin Conrad.  The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. — American Mathematical Society, 2004. — ISBN 9780821836781.
• Cantarella J., Kusner R. B., Sullivan J. M.  On the minimum ropelength of knots and links // Inventiones Mathematicae. — 2002. — Vol. 150, no. 2. — DOI:10.1007/s00222-002-0234-y. — arXiv:math/0103224.
• Dirnböck H., Stachel H.  The development of the oloid // Journal for Geometry and Graphics. — 1997. — Vol. 1, no. 2.
• Hatcher, Allen.  Algebraic Topology. — 2002. — ISBN 9787302105886.
• Hopf, Heinz.  Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche // Mathematische Annalen. — Berlin: Springer, 1931. — DOI:10.1007/BF01457962.
• Kauffman, Louis H.  On Knots. — Princeton University Press, 1987. — Vol. 115. — (Annals of Mathematics Studies). — ISBN 9780691084350.
• Kusner R. B., Sullivan J. M.  Topology and geometry in polymer science (Minneapolis, MN, 1996). — New York: Springer, 1998. — Vol. 103. — (IMA Vol. Math. Appl.). — DOI:10.1007/978-1-4612-1712-1_7.
• Shastri, Anant R.  Basic Algebraic Topology. — CRC Press, 2013. — ISBN 9781466562431.
• Turaev, Vladimir G.  Quantum Invariants of Knots and 3-manifolds. — Walter de Gruyter, 2010. — Vol. 18. — (De Gruyter studies in mathematics). — ISBN 9783110221831.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Hopf Link (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Hopf link, The Knot Atlas

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка.