Фундамента́льная гру́ппа — определённая группа, которая сопоставляется топологическому пространству.
Грубо говоря, эта группа измеряет количество «дырок» в пространстве.
Наличие «дырки» определяется невозможностью непрерывно продеформировать некоторую замкнутую кривую в точку.
Определение
Пусть
— топологическое пространство с отмеченной точкой
. Рассмотрим множество петель в
из
;
то есть множество непрерывных отображений
, таких что
.
Две петли
и
считаются эквивалентными, если они гомотопны друг другу в классе петель, то есть найдется соединяющая их гомотопия
, удовлетворяющая свойству
.
Соответствующие классы эквивалентности называются гомотопическими классами. Произведением двух петель называется петля, определяемая их последовательным прохождением:
-
Произведением двух гомотопических классов
и
называется гомотопический класс
произведения петель.
Можно показать, что он не зависит от выбора петель в классах.
Множество гомотопических классов петель с таким произведением становится группой.
Эта группа и называется фундаментальной группой пространства
с отмеченной точкой
и обозначается
.
Комментарии
- Единицей группы является класс тождественной, или неподвижной петли, обратным элементом — класс петли, пройденной в обратном направлении.
- Если
— линейно связное пространство, то с точностью до изоморфизма фундаментальная группа не зависит от отмеченной точки. Поэтому для таких пространств можно писать
вместо
не боясь вызвать путаницу. Однако для двух точек
канонический изоморфизм между
и
существует лишь если фундаментальная группа абелева.
Связанные определения
- Каждое непрерывное отображение пунктированных пространств
индуцирует отображение
, определяемое формулой
.
зависит только от гомотопического класса
, и выполняются равенства
и
. Таким образом, взятие фундаментальной группы вместе с описанной операцией образует функтор
.
- Пространство
называется односвязным, если оно линейно связно и группа
тривиальна (состоит только из единицы).
Примеры
- В
есть только один гомотопический класс петель. Следовательно, фундаментальная группа тривиальна,
. То же самое верно и для любого пространства-выпуклого подмножества
.
- В одномерной сфере
(окружности), каждый гомотопический класс состоит из петель, которые навиваются на окружность заданное число раз, которое может быть положительным или отрицательным в зависимости от направления. Следовательно, фундаментальная группа одномерной сферы изоморфна аддитивной группе целых чисел
.
- Фундаментальная группа
-мерной сферы
тривиальна при всех
.
- Фундаментальная группа ориентированной замкнутой поверхности рода
может быть задана образующими
с единственным соотношением:
.
Свойства
- Если
— ретракт
, содержащий отмеченную точку
, то гомоморфизм
, индуцированный вложением
, инъективен.
- В частности, фундаментальная группа компоненты линейной связности
, содержащей отмеченную точку, изоморфна фундаментальной группе всего
.
- Если
— строгий деформационный ретракт
, то
является изоморфизмом.
-
сохраняет произведение: для любой пары топологических пространств с отмеченными точками
и
существует изоморфизм
-
- естественный по
и
.
- Теорема ван Кампена: Если
— объединение линейно связных открытых множеств
, каждое из которых содержит отмеченную точку
, и если каждое пересечение
линейно связно, то гомоморфизм
, индуцированный вложениями
, сюрьективен. Кроме того, если каждое пересечение
линейно связно, то ядро гомоморфизма
— это наименьшая нормальная подгруппа
, содержащая все элементы вида
(где
индуцирован вложением
), а потому
индуцирует изоморфизм
(первая теорема об изоморфизме).[1] В частности,
-
сохраняет копроизведения:
естественно по всем
.
- (случай двух
): условие для тройных пересечений становится излишним, и получается, что
, что является ограниченной (случаем линейно связного
) формой сохранения толчков.
Вариации и обобщения
- Фундаментальная группа является первой из гомотопических групп.
- Фундаментальным группоидом пространства
называют группоид
, объектами которого являются точки
, а морфизмами — гомотопические классы путей с композицией путей. При этом
, и если
линейно связно, то вложение
является эквивалентностью категорий.
Примечания
- ↑ А. Хатчер, Алгебраическая топология, М.: МЦНМО, 2011.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .