WikiSort.ru - Не сортированное

Коэффициент зацепления — целое или дробное число, сопоставляемое двум непересекающимся циклам ${\displaystyle z^{k-1}}$ и ${\displaystyle z^{n-k}}$ в ориентируемом многообразии ${\displaystyle M}$ размерности ${\displaystyle n}$ , классы гомологий которых принадлежат подгруппам кручения в целочисленных гомологиях ${\displaystyle H_{k-1}(M,\mathbb {Z} )}$ и ${\displaystyle H_{n-k}(M,\mathbb {Z} )}$ соответственно.

Простейшим примером является коэффициент зацепления двух непересекающихся замкнутых кривых ${\displaystyle L_{1},\ L_{2}}$ пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ , он равен степени отображения ${\displaystyle \phi \colon L_{1}\times L_{2}\to S^{2}}$ определяемого как

${\displaystyle \phi (x,y)=(y-x)/|y-x|,\ x\in L_{1},\ y\in L_{2}}$ .

Коэффициент зацепления не изменяется при непрерывных деформациях кривых, если в течение этой деформации кривые не пересекаются — то есть является инвариантом этого зацепления. Если натянуть на одну кривую ориентированную поверхность, то индекс пересечения будет равен числу точек пересечения первой кривой с этой поверхностью взятых с соответствующими знаками.

Аналогично определяется коэффициент зацепления в случае замкнутых ориентированных многообразий ${\displaystyle M^{k-1}}$ и ${\displaystyle M^{n-k}}$ , расположенных в пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ .

В общем случае коэффициент зацепления определяется через индекс пересечения следующим образом:

Если ${\displaystyle C^{k}}$ есть ${\displaystyle k}$ -мерная цепь для которой ${\displaystyle \partial C^{k}=az^{k-1}}$ , и ${\displaystyle b}$ есть индекс пересечения ${\displaystyle C^{k}}$ с ${\displaystyle z^{n-k}}$ , то индекс зацепления равен ${\displaystyle b/a}$ . Это число не зависит от выбора плёнки ${\displaystyle C^{k}}$ .

Популярное определение

Коэффициент зацепления двух не пересекающихся друг с другом ориентированных контуров x и y определяется как сумма коэффициентов зацепления по всем двойным точкам проекции контура ${\displaystyle y}$ на контур ${\displaystyle x}$ и на некоторую плоскость. Для каждой двойной точки коэффициент зацепления равен ${\displaystyle 1}$ , если при движении по направлению контура ${\displaystyle x}$ контур ${\displaystyle y}$ пересекает его слева направо и ${\displaystyle -1}$ , если контур ${\displaystyle y}$ пересекает его справа налево. Если пересекаются два участка одного и того же контура или контур x проходит выше контура y, двойной точке приписывается коэффициент зацепления ${\displaystyle 0}$ ^[1].

Свойства

• Если поменять ролями циклы ${\displaystyle z^{k-1}}$ и ${\displaystyle z^{n-k}}$ , то коэффициент зацепления умножится на ${\displaystyle (-1)^{k(n-k)}}$ .
• Если заменить любой из циклов на гомологичный ему в дополнении к другому, то коэффициент зацепления не изменится. Этот факт является основой при интерпретации двойственности Александера с помощью зацеплений.
• При замене одного из циклов на любой гомологичный с ним коэффициент зацепления изменяется на целое число, благодаря чему определено спаривание подгрупп кручения в ${\displaystyle H_{k-1}(M,Z)}$ и ${\displaystyle H_{n-k}(M,Z)}$ со значениями в факторгруппе ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ . Это спаривание устанавливает между ними двойственность Понтрягина.
  • В частности, для подгруппы кручения в ${\displaystyle H_{m}(M,\mathbb {Z} )}$ в случае ${\displaystyle n=2m+l}$ этим задаётся билинейная форма самозацеплений со значениями в ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ которая является гомотопическим инвариантом многообразия.

Примечания

Литература

• Болтянский В.Г.,Ефремович В.А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — 160 с.

Для улучшения этой статьи по математике желательно: Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.