WikiSort.ru - Не сортированное

Универсальное свойство

Свободные группы можно охарактеризовать с помощью следующего универсального свойства: функция ${\displaystyle b}$ из множества B в абелеву группу F является вложением базиса в эту группу, если для любой функции ${\displaystyle g}$ из B в произвольную абелеву группу A существует единственный гомоморфизм групп ${\displaystyle G:F\to A,}$ такой что ${\displaystyle g=G\circ b.}$ Как и для любого универсального свойства, удовлетворяющий этому свойству объект автоматически единственен с точностью до изоморфизма, поэтому данное универсальное свойство можно использовать для доказательства того, что все другие определения свободной группы с базисом B эквивалентны.

Подгруппы

Теорема: Пусть ${\displaystyle F}$  — свободная абелева группа и пусть ${\displaystyle G\subset F}$  — её подгруппа. Тогда ${\displaystyle G}$ также является свободной абелевой группой.

Для доказательства этой теоремы необходима аксиома выбора^[4]. В книге Сержа Ленга «Алгебра» приводится доказательство, использующее лемму Цорна^[5], тогда как Соломон Лефшец и Ирвинг Капланский утверждали, что использование принципа вполне упорядочивания вместо леммы Цорна даёт более интуитивно понятное доказательство^[6].

В случае конечнопорождённых групп доказательство более простое и позволяет получить более точный результат:

Теорема: Пусть ${\displaystyle G}$  — подгруппа конечнопорождённой свободной группы ${\displaystyle F}$ . Тогда ${\displaystyle G}$ свободна, существует базис ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$ группы ${\displaystyle F}$ и натуральные числа ${\displaystyle d_{1}|d_{2}|\ldots |d_{k}}$ (то есть каждое из чисел делит последующее), такие что ${\displaystyle (d_{1}e_{1},\ldots ,d_{k}e_{k})}$ образуют базис ${\displaystyle G.}$ Более того, последовательность ${\displaystyle d_{1},d_{2},\ldots ,d_{k}}$ зависит только от ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ , но не от выбора базиса.^[1]

Кручение и делимость

Все свободные абелевы группы свободны от кручения, то есть не существует элемента группы x и ненулевого числа n, таких что nx = 0. Обратно, любая конечно порождённая свободная от кручения абелева группа свободна^[7]. Аналогичные утверждения верны, если заменить слова «группа без кручения» на «плоская группа»: для абелевых групп плоскость эквивалентна отсутствию кручения.

Группа рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  — пример абелевой группы без кручения, не являющейся свободной. Чтобы доказать последнее утверждение, достаточно заметить, что группа рациональных чисел является делимой, тогда как в свободной группе никакой из элементов базиса не может быть кратен другому элементу^[1].

Прямые суммы и произведения

Любая свободная абелева группа может быть описана как прямая сумма некоторого множества копий ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ (равномощного её рангу). Прямая сумма любого количества свободных абелевых групп также свободна; в качестве её базиса можно взять объединение базисов слагаемых.^[1]

Прямое произведение конечного числа свободных абелевых групп также является свободным и изоморфно их прямой сумме. Однако для произведения бесконечного числа групп это не верно; например, группа Баера — Шпекера ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} },}$ прямое произведение счётного числа копий ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ не является свободной абелевой^[8][9]. В то же время, любая её счётная подгруппа является свободной абелевой^[10].