Свобо́дная гру́ппа в теории групп — группа , для которой существует подмножество такое, что каждый элемент записывается единственным образом как произведение конечного числа элементов и их обратных. (Единственность понимается с точностью до тривиальных комбинаций наподобие .) Говорят, что (свободно) порождена и пишут: или если есть множество из элементов.
Близкое, но отличное понятие: свободная абелева группа (которая не является, вообще говоря, свободной группой).
Возможно предъявить явную конструкцию свободных групп, доказав тем самым их существование[1][2]. Будем считать элементы множества «символами» и для каждого символа из введём символ ; множество последних обозначим . Пусть
Определим слово над как конечную цепочку (возможно, повторяющихся) символов из , записанных друг за другом. Вместе с операцией конкатенации (склейки, приписывания) множество слов над становится полугруппой. Будем считать, что во множестве слов имеется пустое слово , которое не содержит символов. Таким образом получается моноид слов над
Например, для . , два слова:
и их конкатенация:
Например, .
Далее вводится правило редукции слов. Если в некотором слове за символом (символу) из следует (предшествует) соответствующий ему символ из то удаление этой пары символов назовём редукцией. Слово называется редуцированным, если в нём больше нельзя провести редукцию. Полной редукцией называется последовательное применение редукции к данном слову до тех пор, пока оно не станет редуцированным. Например, из слова (см. пример выше) после полной редукции получается редуцированное слово:
Свободной группой , порождённой множеством (или свободной группой над ) называется группа редуцированных слов над с операцией конкатенации (за которой следует полная редукция результата при необходимости).
Свободная группа — это в некотором смысле наиболее общая группа, порождённая множеством А именно, для любой группы и любого отображения множеств существует единственный гомоморфизм групп для которого следующая диаграмма коммутативна:
Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между множествами отображений и гомоморфизмов . Для несвободной группы соотношения в группе накладывали бы ограничения на возможные образы образующих элементов группы.
Это свойство можно принять за определение свободной группы[3], при этом она определена лишь с точностью до изоморфизма, как и любой универсальный объект. Это свойство называется универсальностью свободных групп. Порождающее множество называется базисом группы . Одна и та же свободная группа может иметь разные базисы.
С точки зрения теории категорий свободная группа — это функтор из категории множеств в категорию групп , являющийся левым сопряжённым для забывающего функтора .
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .