WikiSort.ru - Не сортированное

В теории узлов трилистник — это простейший нетривиальный узел. Трилистник можно получить, соединив 2 свободных конца обычного простого узла, в результате чего получаем заузленное кольцо. Как простейший узел, трилистник является фундаментальным объектом при изучении математической теории узлов, которая имеет многообразные приложения в топологии, геометрии, физике, химии и иллюзионизме.

Описания

Трилистник можно определить как кривую, которая получается из следующих параметрических уравнений:

${\displaystyle x=\sin t+2\sin 2t}$

${\displaystyle \qquad y=\cos t-2\cos 2t}$

${\displaystyle \qquad z=-\sin 3t}$

(2,3)-торический узел является трилистником. Следующие параметрические уравнения задают (2,3)-торический узел на торе ${\displaystyle (r-2)^{2}+z^{2}=1}$ :

${\displaystyle x=(2+\cos 3t)\cos 2t}$

${\displaystyle \qquad y=(2+\cos 3t)\sin 2t}$

${\displaystyle \qquad z=\sin 3t}$

Любая непрерывная деформация этой кривой также считается трилистником. В частности, любая изотопная трилистнику кривая также считается трилистником. Кроме того, зеркальное отражение трилистника также считается трилистником. В топологии и теории узлов трилистник обычно задаётся с помощью диаграммы.

В алгебраической геометрии трилистник можно получить как пересечение в C² единичной 3-сферы S³ с комплексной плоской кривой нулей комплексного многочлена z² + w³ (полукубическая парабола).

Если один конец ленты повернуть 3 раза, а затем склеить с другим концом, получим трилистник^[1].

Симметрия

Трилистник хирален в том смысле, что трилистник отличается от своего собственного зеркального отражения. Два варианта трилистника известны как левосторонний и правосторонний. Невозможно путём деформации левосторонний вариант непрерывным образом перевести в правосторонний или наоборот, то есть, эти два трилистника не изотопны.

Хотя трилистник хирален, он обратим, что означает, что нет разницы в каком направлении трилистник обходится — по часовой стрелке или против.

Нетривиальность

Трилистник нетривиален, что означает, что невозможно «развязать» трилистник в трёхмерном пространстве без разрезания. С математической точки зрения это означает, что трилистник не изотопен тривиальному узлу. В частности, не существует последовательности движений Рейдемейстера, с помощью которых узел развязывается.

Доказательство этого требует построения инварианта узла, который отличен от инварианта тривиального узла. Простейший такой инвариант — трёхцветная раскраска — трилистник позволяет трёхцветную раскраску, а тривиальный узел — нет. Кроме того, любой основной многочлен узла трилистника отличается от многочлена тривиального узла, как и большинство других инвариантов.

Классификация

В теории узлов трилистник является первым нетривиальным узлом и единственным узлом с числом пересечений три. Он является простым и перечислен с под номером 3₁ в нотации Александера-Бриггса. Нотация Даукера^[en] для трилистника — 4 6 2, а нотация Конвея трилистника — [3].

Трилистник можно описать как (2,3)-торический узел. Можно получить этот узел путём замыкания косы σ₁³.

Трилистник является альтернирующим узлом^[en]. Однако, он не является срезанным узлом, что означает, что он не ограничивает 2-мерный диск на 4-мерной сфере. Чтобы это показать, следует заметить, что его сигнатура^[en] ненулевая. Другое доказательство — многочлен Александера не удовлетворяет условию Фокса — Милнора.

Трилистник является расслоённым^[en], что означает, что его дополнение^[en] в ${\displaystyle S^{3}}$ является локально тривиальным расслоением над окружностью ${\displaystyle S^{1}}$ . В модели трилистника как множества пар ${\displaystyle (z,w)}$ комплексных чисел, таких что ${\displaystyle |z|^{2}+|w|^{2}=1}$ и ${\displaystyle z^{2}+w^{3}=0}$ , это локально тривиальное расслоение имеет отображение Милнора^[en] ${\displaystyle \phi (z,w)=(z^{2}+w^{3})/|z^{2}+w^{3}|}$ в качестве расслоения^[en], а тор с выколотой точкой в качестве поверхности расслоения.

Инварианты

Многочлен Александера трилистника есть

${\displaystyle \Delta (t)=t-1+t^{-1},}$

а Многочлен Конвея —

${\displaystyle \nabla (z)=z^{2}+1.}$ ^[2]

Многочлен Джонса —

${\displaystyle V(q)=q^{-1}+q^{-3}-q^{-4},}$

а Многочлен Кауфмана трилистника —

${\displaystyle L(a,z)=za^{5}+z^{2}a^{4}-a^{4}+za^{3}+z^{2}a^{2}-2a^{2}.}$

Группа узла трилистника задаётся представлением

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{2}=y^{3}\rangle }$

или эквивалентно,

${\displaystyle \langle x,y\mid xyx=yxy\rangle .}$ ^[3]

Эта группа изоморфна группе кос с тремя нитями.

Трилистники в религии и культуре

В качестве простейшего нетривиального узла, трилистник является частым мотивом в иконографии и изобразительном искусстве.

• 
  Древнескандинавский подвеска мьёльнир с трилистником
• 
  Простой символ трикветр
• 
  Плотный трикветр
• 
  Немецкий Валкнут^[en]
• 
  Металлический Валкнут в виде трилистника
• 
  Трилистник, используемый в Лого aTV^[en]
• 
  Ориентируемая поверхность ограниченная трилистником.
• 
  Лист Мёбиуса ограниченный трилистником.

Примечания

Литература

• George Russell Shaw. Knots: Useful & Ornamental. — 1933. — ISBN 978-0-517-46000-9.

Ссылки

• Wolframalpha: (2,3)-torus knot

Для улучшения этой статьи желательно: Проверить качество перевода с иностранного языка. Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.