WikiSort.ru - Не сортированное

Ле́нта Мёбиуса (лист Мёбиуса, петля́ Мёбиуса) — топологический объект, простейшая неориентируемая поверхность с краем, односторонняя при вложении в обычное трёхмерное евклидово пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ .

Считается, что лента Мёбиуса была открыта независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году, хотя похожая структура изображена на римской мозаике III века нашей эры. Модель ленты Мёбиуса может легко быть сделана: для этого надо взять достаточно длинную бумажную полоску и склеить противоположные концы полоски, предварительно перевернув один из них. В трёхмерном евклидовом пространстве существуют два типа полос Мёбиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые.

Эйлерова характеристика листа Мёбиуса равна нулю.

Уравнения

Одним из способов представления листа Мёбиуса как подмножества ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ является параметризация:

${\displaystyle x\left(u,v\right)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\cos u,}$

${\displaystyle y\left(u,v\right)=\left(1+{\frac {v}{2}}\cos {\frac {u}{2}}\right)\sin u,}$

${\displaystyle z\left(u,v\right)={\frac {v}{2}}\sin {\frac {u}{2}},}$

где ${\displaystyle 0\leqslant u<2\pi }$ и ${\displaystyle -1\leqslant v\leqslant 1}$ . Эти формулы задают ленту Мёбиуса ширины 1, чья центральная окружность имеет радиус 1, лежит в плоскости ${\displaystyle xy}$ с центром в ${\displaystyle \left(0,\;0,\;0\right)}$ . Параметр ${\displaystyle u}$ пробегает вдоль ленты, в то время как ${\displaystyle v}$ задает расстояние от края.

В цилиндрических координатах ${\displaystyle \left(r,\;\theta ,\;z\right)}$ неограниченная версия листа Мёбиуса может быть представлена уравнением

${\displaystyle \log r\sin {\frac {\theta }{2}}=z\cos {\frac {\theta }{2}},}$

где функция логарифма имеет произвольное основание.

Свойства

• Граница листа Мёбиуса состоит из одной замкнутой кривой.
• Топологически лист Мёбиуса может быть определен как факторпространство квадрата ${\displaystyle \left[0,\;1\right]\times \left[0,\;1\right]}$ по отношению эквивалентности ${\displaystyle \left(x,\;0\right)\sim \left(1-x,\;1\right)}$ для ${\displaystyle 0\leqslant x\leqslant 1}$ .
• Лист Мёбиуса — это также пространство нетривиального расслоения над окружностью со слоем отрезок.
• Ленту Мёбиуса возможно поместить в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ с границей, являющейся идеальной окружностью. Один из способов — применить стереографическую проекцию к бутылке Клейна, вложенной в трёхмерную сферу. Идея состоит в следующем: пусть ${\displaystyle C}$ будет единичным кругом в плоскости ${\displaystyle xy}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ . Соединив антиподные точки на ${\displaystyle C}$ (то есть точки под углами ${\displaystyle \theta }$ и ${\displaystyle \theta +\pi }$ ) дугой круга, получим, что для ${\displaystyle \theta }$ между ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle \pi /2}$ дуги лежат выше плоскости ${\displaystyle xy}$ , а для других ${\displaystyle \theta }$  — ниже (причём в двух местах дуги лежат в плоскости ${\displaystyle xy}$ ).^{[источник не указан 1156 дней]}
  • Тем не менее любой диск, который приклеивается к граничной окружности, неизбежно пересечёт ленту Мёбиуса.
• Примером вложения листа Мебиуса в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ является поверхность, заданная уравнением

${\displaystyle z_{1}=\sin \eta \,e^{i\varphi }}$

${\displaystyle z_{2}=\cos \eta \,e^{i\varphi /2},}$

Здесь параметр ${\displaystyle \eta }$ изменяется от 0 до ${\displaystyle \pi }$ . Границей этой поверхности является окружность ${\displaystyle z_{1}=0,|z_{2}|=1}$ . При стереографической проекции получается вложение в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ с границей, в точности являющейся окружностью.

Открытые вопросы

1. Каково минимальное ${\displaystyle k}$ такое, что из прямоугольника с меньшей стороной 1 и большей стороной k можно свернуть несамопересекающуюся ленту Мёбиуса (бумагу мять не разрешается)? Доказанная оценка снизу — ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ , сверху — ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ^[1].
2. Существует ли формула, описывающая лист Мёбиуса, получающийся путём складывания плоского листа бумаги? Вышеуказанные формулы описывают поверхность, которую нельзя сложить из листа бумаги, так как она имеет отрицательную кривизну; спрашивается, можно ли аналогичным образом описать поверхность нулевой кривизны?^[2]
   • Сложнее найти форму, которая при этом минимизирует упругую энергию изгиба. Решение этой задачи, впервые поставленной Садовским (M. Sadowsky) в 1930 году, было опубликовано в 2007 году^[3]. Однако решение не описывается алгебраической формулой, и маловероятно, что такая формула вообще существует. Чтобы найти пространственную равновесную форму бумажной ленты Мёбиуса, необходимо решить краевую задачу для системы дифференциально-алгебраических уравнений^[en].

Если ленту разрезать

• Если разрезать ленту вдоль по линии, равноудалённой от краёв, вместо двух лент Мёбиуса получится одна длинная двухсторонняя (закрученная на полный оборот) лента, которую называют «афганской лентой»^[кто?]. Если теперь эту ленту разрезать вдоль посередине, получаются две афганские ленты, намотанные друг на друга.
• Если разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна — более короткая лента Мёбиуса, другая — длинная лента с двумя полуоборотами.^[4].
• Другие комбинации лент могут быть получены из лент с двумя или более полуоборотами в них. Например, если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника. Разрез ленты с дополнительными оборотами даёт неожиданные фигуры, названные парадромными кольцами.

Искусство и технология

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных — «Лист Мёбиуса II»^[5], показывает муравьёв, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

Лист Мёбиуса является эмблемой серии научно-популярных книг серии «Библиотечка „Квант“». Он также постоянно встречается в научной фантастике, например, в рассказе Артура Кларка «Стена темноты». Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщённым листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла» (например, «Застава на Якорном Поле. Повесть»). В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда. По мотивам рассказа был снят фантастический фильм «Мёбиус» режиссёра Густаво Москера. Также идея ленты Мёбиуса используется в рассказе М. Клифтона «На ленте Мёбиуса».

Лента Мёбиуса используется как способ перемещения в пространстве и времени Гарри Кифа, главного героя романа Брайана Ламли «Некроскоп».

Лента Мёбиуса играет важную роль в фантастическом романе Р. Желязны «Двери в песке».

В книге Е. Наумова «Полураспад» (1989 год) интеллигент-алкоголик путешествует по стране, становясь на ленту Мёбиуса.

С лентой Мёбиуса сравнивается течение романа современного русского писателя Алексея Шепелёва «Echo»^[6]. Из аннотации к книге: «„Echo“ — литературная аналогия кольца Мёбиуса: две сюжетные линии — „мальчиков“ и „девочек“ — переплетаются, перетекают друг в друга, но не пересекаются».

Лента Мёбиуса также встречается в эссе Харуки Мураками «Облади Облада» из книги-сборника «Радио Мураками», выпущенного в 2010 году, где лента Мёбиуса образно сравнивается с бесконечностью.

В визуальной новелле CHARON «Makoto Mobius» главный герой Ватаро пытается спасти одноклассницу от смерти, используя магический артефакт — ленту Мёбиуса.

В 1987 году советский джазовый пианист Леонид Чижик записал альбом «Лента Мёбиуса», в который вошла и одноимённая композиция.

Гоночный трек в одном из эпизодов (7 сезон 14 серия, 11 минута) мультсериала «Футурама» представляет собой ленту Мёбиуса.

Существуют технические применения ленты Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера, выполненная в виде ленты Мёбиуса, будет работать дольше, потому что вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид ленты Мёбиуса для увеличения её ресурса.

Также над входом в институт ЦЭМИ РАН находится мозаичный горельеф «Лента Мёбиуса» работы архитектора Леонида Павлова^[7] в соавторстве с художниками Э. А. Жареновой и В. К. Васильцовым (1976)^[8].

Вариации и обобщения

• Близкой односторонней поверхностью является бутылка Клейна. Бутылка Клейна может быть получена путём склеивания двух лент Мёбиуса по краям. В обычном трёхмерном евклидовом пространстве сделать это, не создавая самопересечения, невозможно.
• Другое похожее многообразие — проективная плоскость. Если проколоть отверстие в проективной плоскости, тогда то, что останется, будет листом Мёбиуса. С другой стороны, если приклеить диск к ленте Мёбиуса, совмещая их границы, то результатом будет проективная плоскость.

См. также

• Мёбиус, Август Фердинанд
• Бутылка Клейна
• Резистор Мёбиуса
• «Лист Мёбиуса» (рассказ)
• «Лист Мёбиуса» (фильм)

Примечания

Литература

• Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии.— М.: Наука, 1989.
• Гарднер М. Математические чудеса и тайны.— М.: Наука, 1978.

Ссылки

	Лента Мёбиуса на Викискладе