Теоре́ма Вейерштра́сса — теорема математического анализа и общей топологии, которая гласит, что функция, непрерывная на компакте, ограничена на нём и достигает своих точных верхней и нижней граней[1].
Иногда (в учебных курсах) два утверждения (об ограниченности и достижимости границ) разделяются на две теоремы Вейерштрасса — первую и вторую соответственно[1]
Теорема Вейерштрасса формулируется для непрерывных функций, действующих из заданного метрического пространства в множество вещественных чисел.
В математическом анализе рассматриваются числовые пространства, для которых компактными являются произвольные замкнутые и ограниченные множества. На вещественной прямой связные компактные множества — это отрезки, то теорема Вейерштрасса формулируется для отрезков:
Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на нём и притом достигает своих минимального и максимального значений, т.е. существуют такие, что для всех .
В силу полноты действительных чисел существует (конечная или бесконечная) точная верхняя грань . Поскольку — точная верхняя грань, существует последовательность такая, что . По теореме Больцано — Вейерштрасса из ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность , предел которой (назовем его ) также принадлежит отрезку . В силу непрерывности функции имеем , но с другой стороны . Таким образом, точная верхняя грань конечна и достигается в точке .
Для нижней грани доказательство аналогично.
Пусть - компакт и функция непрерывна на . Рассмотрим совокупность множеств , где - открытый интервал. Эти множества суть открытые (как полные прообразы открытого множества при непрерывном отображении), и очевидно, образуют покрытие . По определению компакта из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие , откуда имеем , ограниченность доказана. Достижение максимума и минимума легко доказать от противного, если рассмотреть функции , , и применить к ним только что доказанное утверждение.
непрерывна в каждой точке области определения, но не ограничена.
Для улучшения этой статьи желательно: |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .