WikiSort.ru - Не сортированное

Гомеоморфи́зм (греч. ὅμοιος — похожий, μορφή — форма) — взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение топологических пространств. Иными словами, это биекция, связывающая топологические структуры двух пространств, поскольку, при непрерывности биекции, образы и прообразы открытых подмножеств являются открытыми множествами, определяющими топологии соответствующих пространств.

Пространства, связанные гомеоморфизмом, топологически неразличимы. Можно сказать, что топология, в общем виде, изучает неизменные при гомеоморфизме свойства объектов.

В категории топологических пространств рассматриваются только непрерывные отображения, поэтому в этой категории изоморфизм является также и гомеоморфизмом.

Определение

Пусть ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}}_{X})}$ и ${\displaystyle (Y,{\mathcal {T}}_{Y})}$ — два топологических пространства. Функция ${\displaystyle f:X\to Y}$ называется гомеоморфизмом, если она взаимно однозначна, а также ${\displaystyle f}$ и обратная функция ${\displaystyle f^{-1}}$ непрерывны.

Связанные определения

• Пространства ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ в таком случае называются гомеомо́рфными или топологи́чески эквивале́нтными.
  • Обычно это отношение обозначается ${\displaystyle X\simeq Y}$ .

Теорема о гомеоморфизме

Пусть ${\displaystyle |a,b|\subset \mathbb {R} }$ — интервал на числовой прямой (открытый, полуоткрытый или замкнутый). Пусть ${\displaystyle f:|a,b|\to f{\bigl (}|a,b|{\bigr )}\subset \mathbb {R} }$ — биекция. Тогда ${\displaystyle f}$ является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда ${\displaystyle f}$ строго монотонна и непрерывна на ${\displaystyle |a,b|.}$

Пример

• Произвольный открытый интервал ${\displaystyle (a,b)\subset \mathbb {R} }$ гомеоморфен всей числовой прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$ . Гомеоморфизм ${\displaystyle f:(a,b)\to \mathbb {R} }$ задаётся, например, формулой

${\displaystyle f(x)=\mathrm {ctg} \left(\pi {\frac {x-a}{b-a}}\right).}$

• Интервал ${\displaystyle (0,\;1)}$ гомеоморфен отрезку ${\displaystyle [0,\;1]}$ в дискретной топологии, но не гомеоморфен в стандартной для числовой прямой топологии.

См. также

• Словарь терминов общей топологии
• Диффеоморфизм

Примечания

Литература

• Зорич В. А. Математический анализ. — М. : Наука, 1984. — Т. 2. — С. 41.
• Васильев В. А. Введение в топологию. — М. : ФАЗИС, 1997. — Вып. 3. — xii + 132 с. — (Библиотека студента-математика). — ISBN 5-7036-0036-7.
• Тимофеева Н. В. Дифференциальная геометрия и элементы топологии. — ЯГПУ, 2007.
• Болтянский В.Г.,Ефремович В.А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — 160 с.

Ссылки

• Горбов А. И. Гомеоморфизм // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

Для улучшения этой статьи желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники.