WikiSort.ru - Не сортированное

Канторова лестница — пример непрерывной монотонной функции $[0,1]\to [0,1]$ , которая не является константой, но при этом имеет производную, равную нулю в почти всех точках (сингулярной функции). Иногда называется «Чёртовой лестницей» или «дьявольской лестницей».^[1]

Построения

Стандартное

В точках 0 и 1 значение функции принимается равным соответственно 0 и 1. Далее интервал (0, 1) разбивается на три равные части $\left(0,{\frac {1}{3}}\right)$ , $\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}\right)$ и $\left({\frac {2}{3}},1\right)$ . На среднем сегменте полагаем $F(x)={\frac {1}{2}}$ . Оставшиеся два сегмента снова разбиваются на три равные части каждый, и на средних сегментах $F(x)$ полагается равной ${\frac {1}{4}}$ и ${\frac {3}{4}}$ . Каждый из оставшихся сегментов снова делится на три части, и на внутренних сегментах $F(x)$ определяется как постоянная, равная среднему арифметическому между соседними, уже определенными значениями $F(x)$ . На остальных точках единичного отрезка определяется по непрерывности. Полученная функция называется канторовой лестницей.

По двоичной и троичной записи

Любое число $x\in [0,1]$ можно представить в троичной системе счисления $x=(0{,}a_{1}a_{2}\dots )_{3}$ , $a_{i}\in \{0,1,2\}$ . Если в записи $0{,}a_{1}a_{2}\dots$ встречается 1, выбросим из неё все последующие цифры и в оставшейся последовательности заменим каждую двойку на 1. Получившаяся последовательность $0{,}b_{1}b_{2}\dots$ даёт запись значения канторовой лестницы в точке $x$ в двоичной системе счисления.

Свойства

Производная канторовой лестницы определена и равна нулю во всех точках кроме канторова множества.
Канторова лестница непрерывна, ограниченной вариации, но не абсолютно непрерывна.
Канторова лестница не обладает свойством Лузина.

См. также

Ссылки

↑ Weisstein, Eric W. Devil's Staircase (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2025
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[1] Weisstein, Eric W. Devil's Staircase (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.