Гравитацио́нный потенциа́л — скалярная функция координат и времени, достаточная для полного описания гравитационного поля в классической механике. Имеет размерность квадрата скорости, обычно обозначается буквой . Гравитационный потенциал в точке пространства, задаваемой радиус-вектором , равен отношению потенциальной энергии небольшого тела, помещённого в эту точку, к массе тела . Как и потенциальная энергия, гравитационный потенциал всегда определяется с точностью до постоянного слагаемого, обычно подбираемого таким образом, чтобы потенциал на бесконечности оказался нулевым.
Впервые понятие гравитационного потенциала ввёл в науку Адриен Мари Лежандр в конце XVIII века.
В современных теориях гравитации роль гравитационного потенциала обычно играют тензорные поля. Так, в стандартной в настоящее время теории гравитации — общей теории относительности — роль гравитационного потенциала играет метрический тензор.
Движение частицы в гравитационном поле в классической механике определяется функцией Лагранжа, имеющей в инерциальной системе отсчета вид:
где: — масса частицы, — обобщённая координата частицы, — потенциал гравитационного поля.
Подставляя выражение для лагранжиана в уравнения Лагранжа:
получаем уравнения движения
Уравнения движения частицы в гравитационном поле в классической механике не содержат массы или другой величины, характеризующей частицу. Этот факт является отражением принципа эквивалентности сил гравитации и инерции.
Гравитационный потенциал, создаваемый точечной массой , расположенной в начале координат, равен
где — гравитационная постоянная, — расстояние от начала координат (модуль радиус-вектора ). Через обозначена произвольная константа, опускаемая при выборе на бесконечности.
Эта же формула справедлива для гравитационного потенциала вне любого тела со сферически-симметричным распределением массы. Примером может быть однородный шар или тонкая сфера. (Примечание: внутри сферы потенциал равен потенциалу сферы , где — радиус сферы).
В общем случае, гравитационный потенциал, создаваемый произвольным распределением массы (плотность зависит от координат произвольным образом), удовлетворяет уравнению Пуассона
где — оператор Лапласа. Решение такого уравнения имеет вид
Здесь — радиус-вектор точки, в которой ищется потенциал, а — радиус-вектор бесконечно малого элемента объёма с плотностью вещества ; интегрирование выполняется по всему объёму тел, создающих поле.
Потенциальная энергия частицы, находящейся в гравитационном поле в точке , равна потенциалу поля в этой точке, умноженному на массу частицы :
Под гравитационной энергией системы тел (дискретных частиц) понимается потенциальная энергия, обусловленная взаимным гравитационным тяготением этих частиц. Она равна половине суммы потенциальных энергий отдельных частиц; деление на два позволяет избежать двукратного учёта одних и тех же взаимодействий. Например, для пары материальных точек на расстоянии друг от друга
здесь — потенциальная энергия первой точки в поле второй, а — второй в поле первой.
Аналогично, для гравитационной энергии непрерывного распределения масс справедливо выражение:
где — плотность массы, — гравитационный потенциал, вычисляемый по формулам из предыдущего раздела, — объём тела. Так, гравитационная энергия шара массой и радиуса , с равномерным распределением плотности, составляет .
Этот раздел нуждается в переработке. |
В целях вычисления гравитационного потенциала произвольной системы масс на больших расстояниях от неё можно произвести разложение:
где — полная масса системы, а величины:
формируют тензор квадрупольного момента масс. Он связан с обычным тензором моментов инерции
очевидными соотношениями
Возможно также разложение по сферическим функциям, применяющееся, в частности, при анализе гравитационных полей космических тел:
Здесь — сферические координаты точки наблюдения, — полином Лежандра n-го порядка, — присоединённые полиномы Лежандра, — гравитационные моменты[1].
В общей теории относительности уравнения движения материальной точки в гравитационном поле имеют вид:
где — символы Кристоффеля. Здесь — метрический тензор, характеризующий гравитационное поле в общей теории относительности.
Из сравнения этих уравнений движения с уравнениями движения ньютоновской механики видно, что в общей теории относительности роль гравитационного потенциала играет метрический тензор.
В случае скоростей, малых по сравнению со скоростью света, и слабых постоянных гравитационных полей уравнения движения принимают вид
для пространственных координат и для временной координаты. Пренебрегая производными по времени, вместо можно подставить и таким образом получить ньютоновские уравнения движения
Здесь гравитационный потенциал и компонента метрического тензора связаны соотношениями
В силу того, что элемент мировой линии покоящихся часов равен , а время , замедление хода часов в гравитационном поле будет
Относительное замедление хода времени в точке с меньшим значением гравитационного потенциала по сравнению с временем в точке с большим значением гравитационного потенциала равно разности гравитационных потенциалов в этих точках, делённой на квадрат скорости света.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .