WikiSort.ru - Не сортированное

Обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

${\displaystyle y'+a(x)y=b(x)y^{n},\quad n\neq 0,\,1}$

называется уравнением Бернулли (при ${\displaystyle n=0}$ или ${\displaystyle n=1}$ получаем неоднородное или однородное линейное уравнение).

При ${\displaystyle n=2}$ является частным случаем уравнения Риккати. Названо в честь Якоба Бернулли, опубликовавшего это уравнение в 1695 году.

Метод решения с помощью замены, сводящей это уравнение к линейному, нашёл его брат Иоганн Бернулли в 1697 году.^[1]

Метод решения

Пример

Уравнение

${\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}}$

разделим на ${\displaystyle y^{2},}$ получаем:

${\displaystyle y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}.}$

Замена переменных

${\displaystyle w={\frac {1}{y}}}$

дает:

${\displaystyle w'={\frac {-y'}{y^{2}}},}$

${\displaystyle w'+{\frac {2}{x}}w=x^{2}.}$

${\displaystyle M(x)=e^{-2\int {\frac {1}{x}}dx}=x^{-2}.}$

Делим на ${\displaystyle M(x)}$ ,

${\displaystyle w'x^{2}+2xw=x^{4},}$

${\displaystyle \int (wx^{2})'dx=\int x^{4}dx}$

${\displaystyle wx^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C}$

${\displaystyle {\frac {1}{y}}x^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C.}$

Результат:

${\displaystyle y={\frac {x^{2}}{{\frac {1}{5}}x^{5}+C}}.}$

Литература

• А. Ф. Филиппов. Сборник задач по дифференциальным уравнениям, — Любое издание.
• В. В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений, — Любое издание.
• Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении, — Факториал, Москва, 1998.

Примечания