WikiSort.ru - Не сортированное

Решение в терминах W-функции Ламберта

Решение уравнения ${\displaystyle y^{x}=x^{y}}$ возможно также выразить через неэлементарную W-функцию Ламберта ${\displaystyle W(x)}$ от переменной ${\displaystyle x}$ :^[10]

${\displaystyle y^{x}=x^{y}\Longleftrightarrow y^{\frac {1}{y}}=x^{\frac {1}{x}}}$ , сделаем замену ${\displaystyle x={\frac {1}{z}}}$ :

${\displaystyle y^{\frac {1}{y}}={\biggl (}{\frac {1}{z}}{\biggr )}^{1\div {\frac {1}{z}}}\Longleftrightarrow {\biggl (}{\frac {1}{z}}{\biggr )}^{z}=y^{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow z^{-z}=y^{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow z^{z}=y^{-{\frac {1}{y}}}}$

Теперь переменную ${\displaystyle z}$ можно выразить через W-функцию Ламберта: ${\displaystyle z=e^{W{\bigl (}\ln {\bigl (}y^{-{\frac {1}{y}}}{\bigr )}{\bigr )}}}$

Окончательно решение будет выглядеть так: ${\displaystyle x=e^{-W{\bigl (}\ln {\bigl (}y^{-{\frac {1}{y}}}{\bigr )}{\bigr )}}}$

В частности, в виду неоднозначности данной функции, на промежутке ${\displaystyle e^{-{\frac {1}{e}}}\leqslant y^{-{\frac {1}{y}}}<1}$ или ${\displaystyle e^{\frac {1}{e}}\leqslant y^{\frac {1}{y}}<1}$ уравнение буде иметь два корня ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ .

Какой из параметров (${\displaystyle y}$ или ${\displaystyle x}$ ), будет переменной, в сущности, не важно, формула останется такой же.

Если при переменной ${\displaystyle x}$ (или ${\displaystyle y}$ ) верно неравенство ${\displaystyle y}$ (или ${\displaystyle x}$ )<${\displaystyle e^{\frac {1}{e}}}$ , то корней в действительных числах нет.

Решение в терминах суперкорня второй степени

Уравнение ${\displaystyle y^{x}=x^{y}}$ является частным случаем уравнения ${\displaystyle y^{x}=bx^{n},{\text{ }}y,b=const}$ при ${\displaystyle b=1}$ и ${\displaystyle n=y}$ . Подставив эти значения в общую формулу решения легко найти и решение исходного уравнения:^[11]

${\displaystyle y^{x}=x^{y}\Longleftrightarrow x_{1,2,3}=y\log _{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2}}{\Bigl (}y^{\pm {\frac {1}{y\times {\sqrt[{y}]{1}}}}}{\Bigr )}{\biggr )}^{-1}\Longleftrightarrow x_{1,2,3}=-y\log _{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2}}{\Bigl (}y^{\pm {\frac {1}{y}}}{\Bigr )}{\biggr )}}$

Данное решение более полно, так как позволяет получить отрицательные действительные корни, если они существуют (потому что логарифм, в отличие от экспоненты в предыдущем решении, может быть меньше нуля). Существование третьего корня объясняется эквивалентностью уравнений ${\displaystyle y^{x}=x^{y}}$ и ${\displaystyle y^{x}=(-x)^{y}}$ при чётном ${\displaystyle y}$ , однако, на практике, существует только, максимум, два действительных корня (третий корень в формуле обязательно посторонний) из-за того, что функция суперкорня второй степени ${\displaystyle f(z)={}^{\frac {1}{2}}z}$ есть обратная к вышеописанной функции ${\displaystyle f(z)=z^{z}}$ (иначе ${\displaystyle f(z)={}^{2}z}$ ), которая выражается через W-функцию Ламберта, которая, в свою очередь, принимать более двух действительных значений не может^[12].

Из данного решения вытекает тождественное равенство: ${\displaystyle -y\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})={\frac {1}{{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}}}$ . Это легко доказать, приравняв оба вышеописанных решения друг к другу:

${\displaystyle -y\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})={\frac {1}{{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}}\Longleftrightarrow {}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})=-{\frac {1}{y}}}$ , далее согласно свойствам логарифма и суперкорня второй степени:

${\displaystyle \log _{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}}){\biggr )}^{{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}=-{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow \log _{y}(y^{-{\frac {1}{y}}})=-{\frac {1}{y}}}$ . Доказанное тождество является частным от более общего случая при ${\displaystyle b=-y}$ ^[11].