Выражение (ноль в нулевой степени) многие учебники считают неопределённым и лишённым смысла[1]. Связано это с тем, что функция двух переменных в точке имеет неустранимый разрыв. В самом деле, вдоль положительного направления оси где она равна единице, а вдоль положительного направления оси где она равна нулю. Поэтому никакое соглашение о значении не может дать непрерывную в нуле функцию.
Некоторые авторы предлагают принять соглашение о том, что это выражение равно 1. В пользу последнего варианта приводятся несколько доводов. Например, разложение в ряд экспоненты:
можно записать короче, если принять :
(наше соглашение используется при ).
Если 0 относить к натуральным числам, то возведение в натуральную степень можно определить так:
и тогда возведение любого числа (в том числе нуля) в нулевую степень будет давать 1.
Другое обоснование соглашения опирается на «Теорию множеств» Бурбаки[2]: число различных отображений n-элементного множества в m-элементное равно при получаем отображение пустого множества в пустое, а оно единственно. Разумеется, это нельзя считать доказательством (соглашения не нуждаются в доказательствах), тем более что в самой теории множеств соглашение не используется.
В любом случае соглашение чисто символическое, и оно не может использоваться ни в алгебраических, ни в аналитических преобразованиях из-за разрывности функции в этой точке. Пример для аналитических вычислений: выражение где — произвольное положительное вещественное число. При мы получаем неопределённость типа и, если не отличать предельную форму (где каждый из нулей обозначает стремление к нулю) и значение (где каждый из нулей и есть ноль), можно ошибочно посчитать, что предел равен 1. На самом деле данное выражение тождественно равно это означает, что бесконечно малая в бесконечно малой степени может в пределе дать любое значение, не обязательно единицу. Аналогичные ошибки могут быть сделаны, если использовать соглашение в алгебраических преобразованиях.
Дискуссия по поводу определения продолжается, по крайней мере, с начала XIX века. Многие математики тогда принимали это соглашение, но в 1821 году Коши[3] причислил к неопределённостям, таким, как В 1830-х годах Либри[en][4][5] опубликовал неубедительный аргумент в пользу (см. Функция Хевисайда § История), и Мёбиус[6] встал на его сторону, ошибочно заявив, что всякий раз, когда . Обозреватель, который подписал свое имя просто как «S», предоставил контрпример , и это немного успокоило дебаты. Больше исторических деталей можно найти в книге Кнута (1992)[7].
Более поздние авторы интерпретируют ситуацию выше по-разному. Некоторые утверждают, что наилучшее значение для зависит от контекста, и поэтому определение его раз и навсегда проблематично[8]. Согласно Бенсону (1999), «Выбор, следует ли определять основан на удобстве, а не на правильности. Если мы воздержимся от определения , то некоторые утверждения становятся излишне неудобными. <…> Консенсус заключается в использовании определения , хотя есть учебники, которые воздерживаются от определения »[9].
Часть зарубежных математиков считает, что должен быть определён как 1. Например, Кнут (1992) уверенно утверждает, что «должно быть 1», делая различие между значением , которое должно равняться 1, как это было предложено Либри, и предельной формой (аббревиатура для предела где ), что обязательно является неопределенностью, как указано Коши: «И Коши, и Либри были правы, но Либри и его защитники не понимали, почему истина на их стороне»[7].
Авторитетный сайт MathWorld, приведя мнение Кнута, всё же констатирует, что обычно значение считается неопределённым, несмотря на то, что соглашение позволяет в некоторых случаях упростить запись формул[10]. В России Большая советская энциклопедия, Математический энциклопедический словарь, Справочник по элементарной математике Выгодского, школьные учебники и другие источники характеризуют как выражение, не имеющее смысла (неопределённость).
Стандарт IEEE 754-2008, описывающий формат представления чисел с плавающей точкой, определяет три функции возведения в степень[11]:
NaN
или бесконечности.NaN
.Во многих языках программирования ноль в нулевой степени равен 1. Например, в C++: pow(0,0)==1
, в языке Haskell это верно для всех трёх стандартных операций возведения в степень: 0^0==1
, 0^^0==1
, 0**0==1
.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .