WikiSort.ru - Не сортированное

Гармонические колебания

Малые колебания маятника являются гармоническими. Это означает, что смещение маятника от положения равновесия изменяется во времени по синусоидальному закону^[2]. Поскольку уравнение движения является обыкновенным ДУ второго порядка, для определения закона движения маятника необходимо задать два начальных условия — координату и скорость, из которых определяются две независимые константы:

${\displaystyle x=A\sin(\theta _{0}+\omega t),}$

где ${\displaystyle A}$  — амплитуда колебаний маятника, ${\displaystyle \theta _{0}}$  — начальная фаза колебаний, ${\displaystyle \omega }$  — циклическая частота, которая определяется из уравнения движения. Движение, совершаемое маятником, называется гармоническими колебаниями.

Нелинейный маятник

Для маятника, совершающего колебания с большой амплитудой, закон движения более сложен:

${\displaystyle \sin {\frac {x}{2}}=\varkappa \cdot \operatorname {sn} (\omega t;\varkappa ),}$

где ${\displaystyle \operatorname {sn} }$  — это синус Якоби. Для ${\displaystyle \varkappa <1}$ он является периодической функцией, при малых ${\displaystyle \varkappa }$ совпадает с обычным тригонометрическим синусом.

Параметр ${\displaystyle \varkappa }$ определяется выражением

${\displaystyle \varkappa ={\frac {\varepsilon +\omega ^{2}}{2\omega ^{2}}},}$

где ${\displaystyle \varepsilon ={\frac {E}{mL^{2}}}}$  — энергия маятника в единицах t⁻².

Период колебаний нелинейного маятника составляет

${\displaystyle T={\frac {2\pi }{\Omega }},\quad \Omega ={\frac {\pi }{2}}{\frac {\omega }{K(\varkappa )}},}$

где K — эллиптический интеграл первого рода.

Для вычислений практически удобно разлагать эллиптический интеграл в ряд:

${\displaystyle T=T_{0}\left\{1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\dots +\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}\sin ^{2n}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\dots \right\}}$ ,

где ${\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}}$  — период малых колебаний, ${\displaystyle \alpha }$  — максимальный угол отклонения маятника от вертикали.

При углах до 1 радиана (≈60°) с приемлемой точностью (ошибка менее 1 %) можно ограничиться первым приближением:

${\displaystyle T=T_{0}\left(1+{\frac {1}{4}}\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)\right).}$

Точная формула периода, с квадратичной сходимостью для любого угла максимального отклонения, обсуждается на страницах сентябрьского выпуска журнала «Заметки американского математического общества» 2012 года^[3]:

${\displaystyle T={\frac {2\pi }{M{\big (}\cos(\theta _{0}/2){\big )}}}{\sqrt {\frac {L}{g}}},}$

где ${\displaystyle M(x)}$ — арифметико-геометрическое среднее чисел 1 и ${\displaystyle x}$ .

Движение по сепаратрисе

Движение маятника по сепаратрисе является непериодическим. В бесконечно далёкий момент времени он начинает падать из крайнего верхнего положения в какую-то сторону с нулевой скоростью, постепенно набирает её, а затем останавливается, возвратившись в исходное положение.