Решение треугольников (лат. solutio triangulorum) — исторический термин, означающий решение главной тригонометрической задачи: по известным данным о треугольнике (стороны, углы и т. д.) найти остальные его характеристики[1]. Существуют также обобщения этой задачи на случай, когда заданы другие элементы треугольника (например, медианы, биссектрисы, высоты, площадь и т. д.). Треугольник может располагаться на плоскости или на сфере. Данная задача часто встречается в тригонометрических приложениях, например, в геодезии, астрономии, строительстве, навигации.
У треугольника общего вида имеется 6 основных характеристик: 3 линейные (длины сторон ) и 3 угловые ( ). Сторону, противолежащую углу при вершине, принято обозначать той же буквой, что и эта вершина, но не заглавной, а строчной, см. рисунок. В классической задаче плоской тригонометрии заданы 3 из этих 6 характеристик, и нужно определить 3 остальные. Очевидно, если известны только 2 или 3 угла, однозначного решения не получится, так как любой треугольник, подобный данному, тоже будет решением, поэтому далее предполагается, что хотя бы одна из известных величин — линейная[2].
Алгоритм решения задачи зависит от того, какие именно характеристики треугольника считаются известными. Далее заданные величины символически обозначаются С (сторона) и У (угол). Поскольку сочетание УУУ исключено из рассмотрения, остаются 5 различных вариантов[3]:
Стандартным методом решения задачи является использование нескольких фундаментальных соотношений, выполняющихся для всех плоских треугольников[4]:
Из других иногда полезных на практике универсальных соотношений следует упомянуть теорему тангенсов, теорему котангенсов, теорему о проекциях и формулы Мольвейде.
Пусть заданы длины всех трёх сторон . Условие разрешимости задачи — выполнение неравенства треугольника, то есть каждая длина должна быть меньше, чем сумма двух других длин:
Чтобы найти углы , надо воспользоваться теоремой косинусов[6]:
Третий угол сразу находится из правила, что сумма всех трёх углов должна быть равна 180°:
Не рекомендуется второй угол находить по теореме синусов, потому что, как указано в вышеприведенном замечании 1, при этом существует опасность спутать тупой угол с острым. Этой опасности не возникнет, если первым определить, по теореме косинусов, наибольший угол (он лежит против наибольшей из сторон) — два других угла точно являются острыми, и применение к ним теоремы синусов безопасно.
Ещё один метод вычисления углов по известным сторонам — использование теоремы котангенсов.
Пусть для определённости известны длины сторон и угол между ними. Этот вариант задачи всегда имеет единственное решение. Для определения длины стороны вновь применяется теорема косинусов[7]:
Фактически задача сведена к предыдущему случаю. Далее ещё раз применяется теорема косинусов для нахождения второго угла:
Третий угол находится из теоремы о сумме углов треугольника: .
В этом случае могут существовать два решения, единственное решение или вообще не быть решений. Пусть, например, известны две стороны и угол . Уравнение для угла находится из теоремы синусов[8]:
Для краткости обозначим (правая часть уравнения). При решении уравнения возможны 4 случая[9] [10].
Третий угол определяется по формуле . Третью сторону можно найти по теореме синусов:
Пусть задана сторона и два угла. Эта задача имеет единственное решение, если сумма двух углов меньше . В противном случае задача решения не имеет.
Вначале определяется третий угол. Например, если даны углы , то . Далее обе неизвестные стороны находятся по теореме синусов[11]:
В этом случае известен один из углов — он равен 90°. Необходимо знать ещё два элемента, хотя бы один из которых — сторона. Возможны следующие случаи:
Принято обозначать вершину прямого угла буквой C, а гипотенузу — . Катеты обозначаются и , а величины противолежащих им углов — α и β соответственно.
Расчётные формулы существенно упрощаются, так как вместо теорем синусов и косинусов можно использовать более простые соотношения — теорему Пифагора:
и определения основных тригонометрических функций:
Ясно также, что углы α и β — острые, так как их сумма равна . Поэтому любой из неизвестных углов однозначно определяется по любой из его тригонометрических функций (синусу, косинусу, тангенсу и др.) путём вычисления соответствующей обратной тригонометрической функции.
При корректной постановке задачи (если заданы гипотенуза и катет, то катет должен быть меньше гипотенузы; если задан один из двух непрямых углов, то он должен быть острый) решение всегда существует и единственно.
Гипотенуза находится по теореме Пифагора:
Углы могут быть найдены с использованием функции арктангенса:
или же по только что найденной гипотенузе:
Пусть известны катет и гипотенуза , тогда катет находится из теоремы Пифагора:
После этого углы определяются аналогично предыдущему случаю.
Пусть известны катет и прилежащий к нему угол α.
Гипотенуза находится из соотношения
Катет может быть найден либо по теореме Пифагора аналогично предыдущему случаю, либо из соотношения
Острый угол β может быть найден как
Пусть известны катет и противолежащий ему угол β.
Гипотенуза находится из соотношения
Катет и второй острый угол α могут быть найдены аналогично предыдущему случаю.
Пусть известны гипотенуза и острый угол β.
Острый угол α может быть найден как
Катеты определяются из соотношений
Сферический треугольник общего вида полностью определяется тремя из шести своих характеристик (3 стороны и 3 угла). Стороны сферического треугольника принято измерять не линейными единицами, а величиной опирающихся на них центральных углов.
Решение треугольников в сферической геометрии имеет ряд отличий от плоского случая. Например, сумма трёх углов зависит от треугольника; кроме того, на сфере не существует неравных подобных треугольников, и поэтому задача построения треугольника по трём углам имеет единственное решение. Но базовые соотношения, используемые для решения задачи, аналогичны плоскому случаю: сферические теоремы косинусов и сферическая теорема синусов.
Из других соотношений могут оказаться полезными формулы аналогии Непера[12] и формула половины стороны[13].
Если стороны заданы (в угловых единицах), то углы треугольника определяются из теоремы косинусов[14]:
Пусть заданы стороны и угол между ними. Сторона находится по теореме косинусов[14]:
Углы можно найти так же, как в предыдущем варианте, можно также использовать формулы аналогии Непера:
Пусть заданы стороны и угол . Чтобы решение существовало, необходимо выполнение условия:
Угол получается из теоремы синусов:
Здесь, аналогично плоскому случаю, при получаются два решения: и .
Остальные величины можно найти из формул аналогии Непера[15]:
В этом варианте задана сторона и углы . Угол определяется по теореме косинусов[16]:
Две неизвестные стороны получаются из формул аналогии Непера:
или, используя вычисленный угол , по теореме косинусов:
Пусть заданы сторона и углы . Сторона определяется по теореме синусов[17]:
Если угол для стороны острый и , существует второе решение:
Остальные величины определяются из формул аналогии Непера:
Если заданы три угла, стороны находятся по теореме косинусов:
Другой вариант: использование формулы половины угла[18].
Изложенные алгоритмы значительно упрощаются, если известно, что один из углов треугольника (например, угол ) прямой. Прямоугольный сферический треугольник полностью определяется двумя элементами, остальные три находятся при помощи мнемонического правила Непера или из нижеприведенных соотношений[19].
Во многих практически важных задачах вместо сторон треугольника задаются другие его характеристики — например, длина медианы, высоты, биссектрисы, радиус вписанного или описанного круга и т. д. Аналогично вместо углов при вершинах треугольника в задаче могут фигурировать иные углы. Алгоритмы решения подобных задач чаще всего комбинируются из рассмотренных выше теорем тригонометрии.
Примеры:
Чтобы определить расстояние от берега до недоступной точки — например, до удалённого корабля,— нужно отметить на берегу две точки, расстояние между которыми известно, и измерить углы и между линией, соединяющей эти точки, и направлением на корабль. Из формул варианта «сторона и прилежащие к ней углы» можно найти длину высоты треугольника[22]:
Этот метод используется в каботажном судоходстве. Углы при этом оцениваются наблюдениями с корабля известных ориентиров на земле. Аналогичная схема используется в астрономии, чтобы определить расстояние до близкой звезды: измеряются углы наблюдения этой звезды с противоположных точек земной орбиты (то есть с интервалом в полгода) и по их разности (параллаксу) вычисляют искомое расстояние[22].
Другой пример: требуется измерить высоту горы или высокого здания. Известны углы наблюдения вершины из двух точек, расположенных на расстоянии . Из формул того же варианта, что и выше, получается[23]:
Надо вычислить расстояние между двумя точками на земном шаре[24]:
Для сферического треугольника , где — северный полюс, известны следующие величины:
Это случай «две стороны и угол между ними». Из приведенных выше формул получается:
где — радиус Земли.
Зачатки тригонометрических знаний можно найти в математических рукописях Древнего Египта, Вавилона и Древнего Китая. Главным достижением этого периода стало соотношение, позже получившее имя теоремы Пифагора; Ван дер Варден считает, что вавилоняне открыли его между 2000 и 1786 годами до н. э.[25]
Общая постановка задачи решения треугольников (как плоских, так и сферических) появилась в древнегреческой геометрии[26]. Во второй книге «Начал» Евклида теорема 12 представляет собой словесный аналог теоремы косинусов для тупоугольных треугольников[27]:
В тупоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей тупой угол, больше [суммы] квадратов на сторонах, содержащих тупой угол, на дважды взятый прямоугольник, заключённый между одной из сторон при тупом угле, на которую падает перпендикуляр, и отсекаемым этим перпендикуляром снаружи отрезком при тупом угле.
Следующая за ней теорема 13 — вариант теоремы косинусов для остроугольных треугольников. Аналога теоремы синусов у греков не было, это важнейшее открытие было сделано гораздо позднее[28]: древнейшее из дошедших до нас доказательств теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике», написанной в XIII веке[29].
Первые тригонометрические таблицы составил, вероятно, Гиппарх в середине II века до н. э. для астрономических расчётов. Позднее астроном II века Клавдий Птолемей в «Альмагесте» дополнил результаты Гиппарха. Первая книга «Альмагеста» — самая значимая тригонометрическая работа всей античности. В частности, «Альмагест» содержит обширные тригонометрические таблицы хорд для острых и тупых углов, с шагом 30 угловых минут. В таблицах Птолемей приводит значение длин хорд с точностью до трех шестидесятиричных знаков[30]. Такая точность примерно соответствует пятизначной десятичной таблице синусов с шагом 15 угловых минут[1].
Птолемей явно не формулирует теорему синусов и косинусов для треугольников. Тем не менее он всегда справляется с задачей решения треугольников, разбивая треугольник на два прямоугольных[31].
Параллельно с развитием тригонометрии плоскости греки, под влиянием астрономии, далеко продвинули сферическую тригонометрию[32]. Решающим этапом в развитии теории стала монография «Сферика» в трёх книгах, которую написал Менелай Александрийский (около 100 года н. э.). В первой книге он изложил теоремы о сферических треугольниках, аналогичные теоремам Евклида о плоских треугольниках (см. I книгу «Начал»). По сообщению Паппа, Менелай первым ввёл понятие сферического треугольника как фигуры, образованной отрезками больших кругов[33]. Несколько десятилетий спустя Клавдий Птолемей в своих трудах «География», «Аналемма» и «Планисферий» даёт подробное изложение тригонометрических приложений к картографии, астрономии и механике.
В IV веке, после упадка античной науки, центр развития математики переместился в Индию. Сочинения индийских математиков (сиддханты) показывают, что их авторы были хорошо знакомы с трудами греческих астрономов и геометров[34]. Чистой геометрией индийцы интересовались мало, но их вклад в прикладную астрономию и расчётные аспекты тригонометрии очень значителен. В частности, индийцы первыми ввели в использование косинус[35]. Кроме того, индийцы знали формулы для кратных углов , для . В «Сурья-сиддханте» и в трудах Брахмагупты при решении задач фактически используется сферический вариант теоремы синусов, однако общая формулировка этой теоремы в Индии так и не появилась[36].
В VIII веке учёные стран Ближнего и Среднего Востока познакомились с трудами древнегреческих и индийских математиков и астрономов. Их астрономические трактаты, аналогичные индийским сиддхантам, назывались «зиджи»; типичный зидж представлял собой сборник астрономических и тригонометрических таблиц, снабжённый руководством по их использованию и (не всегда) изложением общей теории[37]. Сравнение зиджей периода VIII—XIII веков показывает быструю эволюцию тригонометрических знаний. Самые ранние из сохранившихся трудов принадлежат ал-Хорезми и ал-Марвази (IX век), которые рассмотрели, наряду с известными ещё индийцам синусом и косинусом, новые тригонометрические функции: тангенс, котангенс, секанс и косеканс[35].
Сабит ибн Курра (IX век) и ал-Баттани (X век) первыми открыли фундаментальную теорему синусов для частного случая прямоугольного сферического треугольника. Для произвольного сферического треугольника доказательство было найдено (разными способами и, вероятно, независимо друг от друга) Абу-л-Вафой, ал-Худжанди и ибн Ираком в конце X века[28]. В другом трактате ибн Ирака сформулирована и доказана теорема синусов для плоского треугольника[38]. Сферическая теорема косинусов в общем виде сформулирована в странах ислама не была, однако в трудах Сабита ибн Курры, ал-Баттани и других астрономов имеются эквивалентные ей утверждения[39].
Фундаментальное изложение тригонометрии как самостоятельной науки (как плоской, так и сферической) дал персидский математик и астроном Насир ад-Дин ат-Туси в 1260 году[40]. Его «Трактат о полном четырёхстороннике» содержит практические способы решения типичных задач, в том числе труднейших, решенных самим ат-Туси — например, построение сторон сферического треугольника по заданным трём углам[41]. Таким образом, к концу XIII века были открыты базовые теоремы, необходимые для эффективного решения треугольников.
В Европе развитие тригонометрической теории стало чрезвычайно важным в Новое время, в первую очередь для артиллерии, оптики и навигации при дальних морских путешествиях. В 1551 году появились 15-значные тригонометрические таблицы Ретика, ученика Коперника, с шагом 10"[42]. Потребность в сложных тригонометрических расчётах вызвала в начале XVII века открытие логарифмов, причём первые логарифмические таблицы Джона Непера содержали только логарифмы тригонометрических функций. Среди других открытий Непера — эффективный алгоритм решения сферических треугольников, получивший название «формулы аналогии Непера»[43]. Алгебраизация тригонометрии, начатая Франсуа Виетом, была завершена Леонардом Эйлером в XVIII веке, после чего алгоритмы решения треугольников приобрели современный вид.
Эта статья входит в число хороших статей русскоязычного раздела Википедии. |
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .