WikiSort.ru - Не сортированное

Ссылки на статьи о тригонометрии

Тригонометрия

Обзор тригонометрии (англ.) История Использование (англ.) Функции (Обратные) Обобщённая тригонометрия (англ.)

Справочник

Тождества Точные константы (англ.) Таблицы Единичная окружность

Законы и теоремы

Теорема синусов Теорема Пифагора Теорема косинусов Теорема тангенсов Теорема котангенсов Решение треугольников

Математический анализ

Тригонометрическая подстановка (англ.) Интегралы (обратные функции) Производные (англ.)

Теоре́ма си́нусов — теорема, устанавливающая зависимость между длинами сторон треугольника и величиной противолежащих им углов. Существуют два варианта теоремы; обычная теорема синусов:

и расширенная теорема синусов:

Доказательства

Доказательство расширенной теоремы синусов

Доказательство

Достаточно доказать, что

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}=2R.}$

Проведем диаметр ${\displaystyle |BG|}$ для описанной окружности. По свойству углов, вписанных в окружность, угол ${\displaystyle GCB}$ прямой, а угол ${\displaystyle CGB}$ равен либо ${\displaystyle \alpha }$ , если точки ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle G}$ лежат по одну сторону от прямой ${\displaystyle BC}$ , либо ${\displaystyle \pi -\alpha }$ в противном случае. Поскольку ${\displaystyle \sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha }$ , в обоих случаях получаем

${\displaystyle a=2R\sin \alpha }$ .

Повторив то же рассуждение для двух других сторон треугольника, получаем:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R.}$

Вариации и обобщения

В треугольнике против бо́льшего угла лежит большая сторона, против бо́льшей стороны лежит больший угол.

В симплексе ${\displaystyle V_{n}={\frac {n-1}{n}}{\frac {{V_{n-1}^{i}}{V_{n-1}^{j}}}{V_{n-2}^{i,j}}}{sin({A_{i,j}})}}$

где ${\displaystyle A_{i,j}}$  — угол между гранями ${\displaystyle V_{n-1}^{i}}$ и ${\displaystyle V_{n-1}^{j}}$ ; ${\displaystyle V_{n-2}^{i,j}}$  — общая грань ${\displaystyle V_{n-1}^{i}}$ и ${\displaystyle V_{n-1}^{j}}$ ; ${\displaystyle V_{n}}$  — объем симплекса.

История

• В первой главе Альмагеста (около 140 года н. э.) теорема синусов используется, но явно не формулируется^[1].
• Древнейшее из дошедших до нас доказательств теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике» написанной в XIII веке^[2].
• Теорема синусов для сферического треугольника была доказана математиками средневекового Востока ещё в X веке^[3]. В труде Ал-Джайяни XI века «Книга о неизвестных дугах сферы» приводилось общее доказательство теоремы синусов на сфере^[4].

См. также

• Решение треугольников
• Теорема косинусов
• Теорема котангенсов
• Теорема о проекциях
• Теорема Пифагора
• Теорема синусов (сферическая геометрия)
• Теорема тангенсов
• Тригонометрические тождества
• Тригонометрические функции
• Формулы Мольвейде

Примечания