WikiSort.ru - Не сортированное

Пусть OABC – данный трёхгранный угол (см. Рис. 1). Рассмотрим трёхгранный угол с вершиной A, образованный гранями ABO, ACO и углом BAC. Напишем неравенство:

${\displaystyle \angle BAC<\angle BAO+\angle CAO}$

Аналогично, и для оставшихся трёхгранных углов с вершинами B и С:

${\displaystyle \angle ABC<\angle ABO+\angle CBO}$

${\displaystyle \angle ACB<\angle ACO+\angle BCO}$

Складывая эти неравенства и учитывая, что сумма углов треугольника ABC равна 180°, получаем

${\displaystyle 180<\angle BAO+\angle CAO+\angle ABO+\angle CBO+\angle BCO+\angle ACO=180-\angle AOB+180-\angle BOC+180-\angle AOC}$

Следовательно : ${\displaystyle \angle AOB+\angle BOC+\angle AOC<360}$

Пусть OABC – данный трёхгранный угол. Опустим перпендикуляры из внутренней точки трёхгранного угла на его грани и получим новый трёхгранный угол полярный (двойственный данному). Плоские углы одного трёхгранного угла дополняют двугранные углы другого и двугранные углы одного угла дополняют плоские другого до 180 градусов. Т. е. плоские углы полярного угла соответственно равны: 180 - А ; 180 - В ; 180 - С, а двугранные - 180 - α; 180 - β ; 180 - γ

Напишем первую теорему косинусов для него

${\displaystyle \cos({\pi -A})=\cos({\pi -\alpha })\sin({\pi -B})\sin({\pi -C})+}$

${\displaystyle +\cos({\pi -B})\cos({\pi -C)}}$

и после упрощений получаем:

${\displaystyle \cos {A}=\cos {\alpha }\sin {B}\sin {C}-\cos {B}\cos {C}}$