WikiSort.ru - Не сортированное

Математический анализ

Пусть ${\displaystyle \varepsilon >0}$ произвольное фиксированное число.

Окрестностью точки ${\displaystyle x_{0}}$ на числовой прямой (иногда говорят ${\displaystyle \varepsilon }$ -окрестностью) называется множество точек, удаленных от ${\displaystyle x_{0}}$ менее чем на ${\displaystyle \varepsilon }$ , то есть ${\displaystyle O_{\varepsilon }(x_{0})=\{x:|x-x_{0}|<\varepsilon \}}$ .

В многомерном случае функцию окрестности выполняет открытый ${\displaystyle \varepsilon }$ -шар с центром в точке ${\displaystyle x_{0}}$ .

В банаховом пространстве ${\displaystyle (B,\|\cdot \|)}$ окрестностью с центром в точке ${\displaystyle x_{0}}$ называют множество ${\displaystyle A=\{x\in B:\|x-x_{0}\|<\varepsilon \}}$ .

В метрическом пространстве ${\displaystyle (M,\rho )}$ окрестностью с центром в точке ${\displaystyle y}$ называют множество ${\displaystyle A=\{x\in M:\rho (x,y)<\varepsilon \}}$ .

Общая топология

Пусть задано топологическое пространство ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ , где ${\displaystyle X}$  — произвольное множество, а ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$  — определённая на ${\displaystyle X}$ топология.

• Множество ${\displaystyle V\subset X}$ называется окрестностью точки ${\displaystyle x\in X}$ , если существует открытое множество ${\displaystyle U\in {\mathcal {T}}}$ такое, что ${\displaystyle x\in U\subset V}$ .
• Аналогично окрестностью множества ${\displaystyle M\subset X}$ называется такое множество ${\displaystyle V\subset X}$ , что существует открытое множество ${\displaystyle U\in {\mathcal {T}}}$ , для которого выполнено ${\displaystyle M\subset U\subset V}$ .

Проколотая окрестность

Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.

Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью точки, так как согласно определению окрестности окрестность должна включать и саму точку.

Формальное определение: Множество ${\displaystyle {\dot {V}}}$ называется проколотой окрестностью (вы́колотой окрестностью) точки ${\displaystyle x\in X}$ , если

${\displaystyle {\dot {V}}=V\setminus \{x\},}$

где ${\displaystyle V}$  — окрестность ${\displaystyle x}$ .