WikiSort.ru - Не сортированное

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте

Фильтр — подмножество решётки, удовлетворяющее определённым условиям. Понятие происходит из общей топологии, где возникают фильтры на решётке всех подмножеств какого-либо множества, упорядоченных отношением включения. Фильтр — понятие, двойственное идеалу.

Определение в рамках теории решёток

Подмножество $F$ полурешётки $L$ называется фильтром, если

для всех $a,b\in F$ , $a\land b\in F$
для всех $a\in F$ и $b$ таких, что $a\leq b$ , $b\in F$

Фильтр называется собственным, если $F\neq L$ .

Собственный фильтр такой, что не существует других собственных фильтров, его содержащих, называется ультрафильтром или максимальным фильтром.

Фильтр $F$ решётки называется простым, если в нём для всех $a,b\in L$ из того, что $a\lor b\in F$ , следует, что либо $a\in F$ , либо $b\in F$ .

Минимальный фильтр, содержащий данный элемент $x$ , называется главным фильтром, сгенерированным главным элементом $x$ .

Если $F$ фильтр, то $L\backslash F$ является идеалом.

Фильтр на булевой алгебре

Фильтром на булевой алгебре $M$ называется подмножество $D\subseteq M$ , для которого выполняются условия^[1]:

$D\neq \varnothing$ ,
$x,y\in D\Rightarrow (x\cap y)\in D$ ,
$x\in D,x\leqslant y\Rightarrow y\in D$ ,
$x\in D\Rightarrow {\bar {x}}\notin D$ .

Фильтр $D$ на булевой алгебре $M$ называется ультрафильтром, если выполняется условие:

$\forall x\in M:x\in D\vee {\bar {x}}\in D$ .

Фильтр $D$ на булевой алгебре $M$ называется простым, если он удовлетворяет условию:

$\forall x,y\in M:(x\cup y)\in D\Rightarrow x\in D\vee y\in D$ .

Фильтр $D$ на булевой алгебре $M$ называется максимальным, если он не содержится ни в каком другом фильтре на $M$ .

Фильтры на множествах

Частным случаем фильтра является фильтр на множестве. Для каждого множества $X$ можно определить решётку его подмножеств $({\mathcal {P}}(X),\subseteq )$ . Тогда фильтр ${\mathfrak {F}}$ на $X$ определяется как подмножество ${\mathcal {P}}(X)$ , удовлетворяющее следующим условиям^[2]:

${\mathfrak {F}}\neq \varnothing$
$\varnothing \notin {\mathfrak {F}}$
пересечение любых двух элементов ${\mathfrak {F}}$ лежит в ${\mathfrak {F}}$
надмножество любого элемента ${\mathfrak {F}}$ лежит в ${\mathfrak {F}}$

Фильтр вида ${\mathfrak {F}}_{Z}=\{Y\in {\mathcal {P}}(X)\mid Z\subseteq Y\}$ называется фильтром, порожденным множеством $Z$ . Фильтр, порожденный множеством из одного элемента, называется главным. Главный фильтр является ультрафильтром.

База фильтра

Пусть ${\mathfrak {F}}$ — фильтр на множестве $X$ . Семейство подмножеств ${\mathfrak {B}}\subset {\mathfrak {F}}$ называется базой (базисом) фильтра ${\mathfrak {F}}$ , если любой элемент фильтра ${\mathfrak {F}}$ содержит некоторый элемент базы ${\mathfrak {B}}$ , то есть для любого $Y\in {\mathfrak {F}}$ существует $B\in {\mathfrak {B}}$ такое, что $B\subset Y$ . При этом фильтр ${\mathfrak {F}}$ совпадает с семейством всевозможных надмножеств множеств из ${\mathfrak {B}}$ . В частности, фильтры, имеющие общую базу, совпадают. Говорят также, что база ${\mathfrak {B}}$ порождает фильтр ${\mathfrak {F}}$

Для того, чтобы семейство ${\mathfrak {B}}=\{B\}$ подмножеств множества $X$ являлось базой некоторого фильтра на $X$ необходимо и достаточно выполнение следующих условий (аксиом базы):

${\mathfrak {B}}\neq \varnothing$ ;
$\varnothing \not \in {\mathfrak {B}}$ ;
для любых $A,B\in {\mathfrak {B}}$ существует $C\in {\mathfrak {B}}$ такое, что $A\cap B\supset C$ .

Две базы ${\mathfrak {B}}$ и ${\mathfrak {B}}'$ называются эквивалентными, если любой элемент $B\in {\mathfrak {B}}$ содержит в себе некоторый элемент $B'\in {\mathfrak {B}}'$ , и наоборот, любой элемент $B'\in {\mathfrak {B}}'$ содержит в себе некоторый элемент $B\in {\mathfrak {B}}$ .

Эквивалентные базы порождают один и тот же фильтр. Среди всех баз, эквивалентных данной базе ${\mathfrak {B}}$ существует максимальная по включению база, а именно, порождаемый этой базой фильтр ${\mathfrak {F}}$ . Таким образом, между классами эквивалентных баз и фильтрами существует естественное взаимно-однозначное соответствие.

Сравнение фильтров

Пусть на множестве $X$ заданы два фильтра ${\mathfrak {F}}$ и ${\mathfrak {F}}'$ . Говорят, что фильтр ${\mathfrak {F}}'$ мажорирует фильтр ${\mathfrak {F}}$ ( ${\mathfrak {F}}'$ сильнее ${\mathfrak {F}}$ , ${\mathfrak {F}}'$ тоньше ${\mathfrak {F}}$ ), если ${\mathfrak {F}}'\supset {\mathfrak {F}}$ . В этом случае также говорят, что фильтр ${\mathfrak {F}}$ мажорируется фильтром ${\mathfrak {F}}'$ ( ${\mathfrak {F}}$ слабее ${\mathfrak {F}}'$ , ${\mathfrak {F}}$ грубее ${\mathfrak {F}}'$ ).

Говорят, что база ${\mathfrak {B}}'$ сильнее базы ${\mathfrak {B}}$ , и записывают ${\mathfrak {B}}'\geqslant {\mathfrak {B}}$ , если любой элемент $B\in {\mathfrak {B}}$ содержит в себе некоторый элемент $B'\in {\mathfrak {B}}'$ . База ${\mathfrak {B}}'$ сильнее базы ${\mathfrak {B}}$ тогда и только тогда, когда фильтр ${\mathfrak {F}}'$ , порожденный базой ${\mathfrak {B}}'$ , сильнее фильтра ${\mathfrak {F}}$ , порожденного базой ${\mathfrak {B}}$ .

Базы ${\mathfrak {B}}$ и ${\mathfrak {B}}'$ эквивалентны тогда и только тогда, когда одновременно ${\mathfrak {B}}'\geqslant {\mathfrak {B}}$ и ${\mathfrak {B}}\geqslant {\mathfrak {B}}'$ .

Фильтры в топологических пространствах

Пусть $(X,{\mathcal {T}})$ — топологическое пространство и ${\mathfrak {F}}$ — фильтр на множестве $X$ . Точка $a\in X$ называется пределом фильтра ${\mathfrak {F}}$ , если любая окрестность $V(a)$ точки $a$ принадлежит фильтру ${\mathfrak {F}}$ . Обозначение: $a\in \lim {\mathfrak {F}}$ . Если $a$ является единственным пределом фильтра, то также пишут $a=\lim {\mathfrak {F}}$ .

Для фильтра ${\mathfrak {F}}$ , порожденного базой ${\mathfrak {B}}$ , точка $a$ является его пределом тогда и только тогда, когда любая окрестность $V(a)$ целиком содержит некоторое множество из ${\mathfrak {B}}$ .

В хаусдорфовом топологическом пространстве фильтр может иметь не более одного предела. Верно и обратное: если каждый фильтр имеет не более одного предела, то пространство хаусдорфово.

Точка $a\in X$ называется предельной точкой (точкой прикосновения, частичным пределом) фильтра ${\mathfrak {F}}$ , если $a$ принадлежит замыканию любого множества из ${\mathfrak {F}}$ , то есть $a\in {\overline {Y}}$ для всех $Y\in {\mathfrak {F}}$ . Равносильно, для любой окрестности $V(a)$ точки $a$ и для любого $Y\in {\mathfrak {F}}$ выполнено $V(a)\cap Y\neq \varnothing$ . Любая предельная точка ультрафильтра является его пределом.

В компактном топологическом пространстве любой фильтр имеет предельную точку, а любой ультрафильтр имеет предел.

Примеры

Множество всех окрестностей точки топологического пространства является фильтром;
Если $X$ — бесконечное множество, то множество дополнений конечных множеств является фильтром. Такой фильтр называется коконечным фильтром или фильтром Фреше.
Если $X$ — бесконечное множество мощности ${\mathfrak {m}}$ , то множество дополнений множеств мощности $<{\mathfrak {m}}$ тоже является фильтром.

См. также

Примечания

↑ Лавров, 1975, с. 22.
↑ Александрян, 1979, с. 100.

Литература

Александрян Р. А., Мирзаханян Э. А. Общая топология. — М.: Высшая школа, 1979. — 336 с.
Лавров И. А., Максимова Л. Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — М.: Наука, 1975. — 240 с.

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2025
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[_6d8f30455373129d-1] Лавров, 1975, с. 22.

[_ebe2929372106e1d-2] Александрян, 1979, с. 100.