WikiSort.ru - Не сортированное

Определению топологического пространства удовлетворяет широкий класс множеств. В частности, оно включает пространства, топология которых мало похожа на топологию метрического пространства. Поэтому на топологические пространства часто налагают дополнительные требования, в частности, аксиомы отделимости.

Известно множество аксиом отделимости. Кроме как по имени, они обозначаются с помощью символов T₀, T₁, T₂, T₃, T_3½, T₄ и т. д. Буква T в этих обозначениях происходит от нем. Trennungsaxiom, что означает аксиома отделимости.

T₀ — аксиома Колмогорова

Для любых двух различных точек ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ по крайней мере одна точка должна иметь окрестность, не содержащую вторую точку.

T₁ — аксиома Тихонова

Для любых двух различных точек ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ должна существовать окрестность точки ${\displaystyle x}$ , не содержащая точку ${\displaystyle y}$ и окрестность точки ${\displaystyle y}$ , не содержащая точку ${\displaystyle x}$ . Эквивалентное условие: все одноточечные множества замкнуты.

T₂ — аксиома Хаусдорфа

Для любых двух различных точек ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ должны найтись непересекающиеся окрестности ${\displaystyle U(x)}$ и ${\displaystyle V(y)}$ .

T₃

Для любого замкнутого множества и не содержащейся в нём точки существуют их непересекающиеся окрестности.^[1][2] Эквивалентное условие: для любой точки ${\displaystyle x}$ и её окрестности ${\displaystyle U}$ существует окрестность ${\displaystyle V}$ , такая, что ${\displaystyle x\in V\subset {\bar {V}}\subset U}$ .

Пространства, удовлетворяющие аксиомам T₁ и T₃, называются регулярными пространствами.^[1]

Иногда в определение аксиомы отделимости T₃ включают требования аксиомы отделимости T₁.^[3][4] Также иногда в определении регулярного пространства не включается требование аксиомы T_1.^[2][4]

T_3½

Для любого замкнутого множества ${\displaystyle F}$ и не содержащейся в нём точки ${\displaystyle a}$ существует непрерывная (в данной топологии) числовая функция ${\displaystyle f(x)}$ , заданная на этом пространстве, принимающая значения от ${\displaystyle 0}$ до ${\displaystyle 1}$ на всем пространстве, причем ${\displaystyle f(a)=0}$ и ${\displaystyle f(x)=1}$ для всех ${\displaystyle x}$ , принадлежащих ${\displaystyle F}$ . Пространства, удовлетворяющие аксиомам T₁ и T_3½ называются вполне регулярными пространствами или тихоновскими пространствами.

Иногда в определение аксиомы отделимости T_3½ включают требования аксиомы отделимости T₁.^[5] Также иногда в определении вполне регулярного пространства не включается требование аксиомы T₁, но в определение тихоновского пространства она включается_.^[2]

T₄

Для любых двух замкнутых непересекающихся множеств существуют их непересекающиеся окрестности.^[1][2] Эквивалентное условие: для любого замкнутого множества ${\displaystyle F}$ и его окрестности ${\displaystyle U}$ существует окрестность ${\displaystyle V}$ , такая, что ${\displaystyle F\subset V\subset {\bar {V}}\subset U}$ .

Пространства, удовлетворяющие аксиомам T₁ и T₄, называются нормальными пространствами.^[2][6]

Иногда в определение аксиомы отделимости T₄ включают требования аксиомы отделимости T₁.^[7][8] Также иногда в определении нормального пространства не включается требование аксиомы T_1.^[8]

Свойства

• Аксиомы ${\displaystyle T_{0}}$ , ${\displaystyle T_{1}}$ и ${\displaystyle T_{2}}$ не следуют из остальных аксиом (если в их определение не включается аксиома ${\displaystyle T_{1}}$ ).
• Из аксиомы ${\displaystyle T_{1}}$ следует аксиома ${\displaystyle T_{0}}$ .
• Хаусдорфовы пространства удовлетворяют аксиоме ${\displaystyle T_{1}}$ , а значит и ${\displaystyle T_{0}}$ .
• Регулярные пространства являются хаусдорфовыми.
• Вполне регулярные пространства являются регулярными.
• Нормальные пространства являются также и вполне регулярными.
• Компактные хаусдорфовы пространства являются нормальными.

Примечания

1. 1 2 3 Виро, Иванов, Харламов, Нецветаев, с.105
2. 1 2 3 4 5 математическая энциклопедия
3. ↑ Энгелькинг, с.71
4. 1 2 Келли, с.154
5. ↑ Энгелькинг, с.73
6. ↑ Виро, Иванов, Харламов, Нецветаев, с.106
7. ↑ Энгелькинг, с.74
8. 1 2 Келли, с.153

Литература

• О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев Задачный учебник по топологии
• Энгелькинг Р. Общая топология: Пер. с англ. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
• Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968.
• Отделимости аксиома — статья из математической энциклопедии, автор — В.И.Зайцев

См. также

• Сепарабельность
• Принцип разделимости