WikiSort.ru - Не сортированное

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте

ε-сеть (эпсилон-сеть, ε-плотное множество) для подмножества $M$ метрического пространства $X$ есть множество $Z$ из того же пространства $X$ такое, что для любой точки $x\in M$ найдётся точка $z\in Z$ , удалённая от $x$ не более чем на ε.

Связанные определения

Метрическое пространство, в котором для каждого $\varepsilon >0$ существует конечная $\varepsilon$ -сеть, называется вполне ограниченным.

Метрика $\rho$ на множестве $X$ называется вполне ограниченной, если $(X,\rho )$ — вполне ограниченное метрическое пространство.

Семейство метрических пространств $(X_{\alpha },\rho _{\alpha })$ $(X_{\alpha },\rho _{\alpha })$ таких, что для для любого $\varepsilon >0$ $\varepsilon >0$ есть натуральное число $N_{\varepsilon }$ $N_\varepsilon$ такое, что каждое пространство $(X_{\alpha },\rho _{\alpha })$ $(X_{\alpha },\rho _{\alpha })$ допускает $\varepsilon >0$ $\varepsilon> 0$ -сеть из не более чем $N_{\varepsilon }$ $N_\varepsilon$ точек называется универсально вполне ограниченной.
- Для таких семейств выполняется аналог теоремы Громова о компактности.

Топологическое пространство, гомеоморфное вполне ограниченному метрическому пространству, называется метризуемым вполне ограниченной метрикой.

Примеры

Для стандартной метрики множество рациональных чисел — ε-сеть для множества вещественных для любого ε > 0.
Множество целых чисел — ε-сеть для множества вещественных для $\varepsilon \geq 0{,}5$

Свойства

Метрическое пространство имеет эквивалентную вполне ограниченную метрику тогда и только тогда, когда оно сепарабельно.
Топологическое пространство метризуемо вполне ограниченной метрикой тогда и только тогда, когда оно регулярно и удовлетворяет второй аксиоме счётности.
Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограниченно. В чуть более общей формулировке, теорема Хаусдорфа о компактности гласит, что для относительной компактности подмножества $M$ метрического пространства $X$ необходимо, а в случае полноты пространства $X$ и достаточно, чтобы при любом $\varepsilon >0$ существовала конечная ε-сеть из элементов множества $M$ .

Доказательство

Необходимость

Пусть множество $M$ (относительно) компактно. Зафиксируем $\varepsilon >0$ и рассмотрим любой элемент $x_{1}\in M$ . Если $\rho (x,x_{1})<\varepsilon$ для любого $x\in M$ , то конечная ε-сеть из одного элемента уже построена. В противном случае найдется элемент $x_{2}\in M$ такой, что $\rho (x_{2},x_{1})\geqslant \varepsilon$ . Имеются далее две возможности. Либо для любого $x\in M$ по крайней мере одно из чисел $\rho (x,x_{1})$ или $\rho (x,x_{2})$ меньше $\varepsilon$ , и тогда конечная ε-сеть из двух элементов уже построена, либо найдется элемент $x_{3}\in M$ такой, что $\rho (x_{3},x_{1})\geqslant \varepsilon$ , $\rho (x_{3},x_{2})\geqslant \varepsilon$ , и так далее. Покажем, что процесс построения точек $x_{1},x_{2},\ldots$ оборвется после конечного числа шагов, что означает, что конечная ε-сеть будет построена. Если бы это было не так, то получилась бы последовательность $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\ldots$ , для которой $\rho (x_{i},x_{j})\geqslant \varepsilon$ при $i\neq j$ . Но тогда ни сама последовательность $\{x_{n}\},$ ни любая её подпоследовательность не может сходиться, что противоречит компактности множества $M$ . Итак, для компактного множества $M$ мы построили конечную ε-сеть, точки которой принадлежат самому множеству.

Достаточность

Пусть при любом $\varepsilon >0$ существует ε-сеть для множества $M$ . Возьмем числовую последовательность ${\mathcal {f}}\varepsilon _{n}{\mathcal {g}}$ , где $\varepsilon _{n}\rightarrow 0$ при $n\rightarrow \infty$ и для каждого $n$ построим $\varepsilon _{n}$ -сеть $N_{n}=\{z_{1}^{(n)},z_{2}^{(n)},\ldots ,z_{m_{n}}^{(n)}\}$ . Рассмотрим произвольную последовательность $\{x_{n}\}\in M$ . Так как $N_{1}$ есть $\varepsilon _{1}$ -сеть для $M$ , то, каков бы ни был элемент $x\in M$ , будем иметь, что $\rho (x,z_{i}^{(1)})<\varepsilon _{1}$ для хотя бы одного элемента $z_{i}^{(1)}\in N_{1}$ . Поэтому любой элемент $x\in M$ попадает хотя бы в один шар $S(z_{i}^{(1)},\varepsilon _{1}),i=1,2,\ldots ,m_{1}$ , то есть все множество $M$ , а тем более вся последовательность $\{x_{n}\}$ разместится в этих шарах. Так как шаров конечное число, а последовательность $\{x_{n}\}$ бесконечна, то найдется хотя бы один шар $S(z_{i}^{(1)},\varepsilon _{1})$ , который будет содержать бесконечную подпоследовательность $\{x_{n}^{(1)}\}$ нашей последовательности. Это рассуждение можно повторить и для $N_{m},m=2,3,\ldots$ . Составим диагональную подпоследовательность $x_{1}^{(1)},x_{2}^{(2)},\ldots ,x_{k}^{(k)},\ldots$ . Покажем, что эта последовательность сходится в себе. Так как $x_{k}^{(k)}$ и $x_{k+p}^{(k+p)}$ при $p>0$ входят в $k$ -ю подпоследовательность, а $k$ -я подпоследовательность содержится в шаре $S(z_{i}^{(k)},\varepsilon _{k})$ , то $\rho (x_{k+p}^{(k+p)},x_{k}^{(k)})\leqslant \varepsilon _{k}\rightarrow 0$ при $k\rightarrow \infty$ . По предположению, пространство $X$ полное. Поэтому из сходимости в себе последовательности $\{x_{k}^{(k)}\}$ следует её сходимость к некоторому пределу, а это и доказывает возможность выделения из любой последовательности $\{x_{n}\}$ сходящейся подпоследовательности, то есть (относительная) компактность множества $M.$ ^[1]

Полное метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда для любого $\varepsilon >0$ в нём существует компактная ε-сеть.

Примечания

↑ Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М.: Наука, 1968 — стр. 59.

Литература

Д. Ю. Бураго, Ю. Д. Бураго, С. В. Иванов. Курс метрической геометрии. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 512 стр. ISBN 5-93972-300-4.
Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.

Это заготовка статьи по геометрии. Вы можете помочь проекту, дополнив её.

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2024
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[1] Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М.: Наука, 1968 — стр. 59.