WikiSort.ru - Не сортированное

Фонон
Нормальные моды колебаний в кристалле. Амплитуда колебаний была увеличена для удобства просмотра; в реальном кристалле, она обычно существенно меньше межатомного расстояния.
Состав:	Квазичастица
Классификация:	Фононы в одномерном кристалле с одним атомом в элементарной ячейке, Акустические фононы, Оптические фононы
Семья:	Бозон[1]
Группа:	Квант (колебательного движения атомов кристалла)
Теоретически обоснована:	Игорь Тамм в 1932 году
Кол-во типов:	3
Спин:	0 ħ

Фоно́н — квазичастица, введённая советским учёным Игорем Таммом. Фонон представляет собой квант колебательного движения атомов кристалла.

Необходимость использования квазичастиц

Концепция фонона оказалась очень плодотворной в физике твёрдого тела. В кристаллических материалах атомы активно взаимодействуют между собой, и рассматривать в них такие термодинамические явления, как колебания отдельных атомов, затруднительно — получаются огромные системы из триллионов связанных между собой линейных дифференциальных уравнений, аналитическое решение которых невозможно. Колебания атомов кристалла заменяются распространением в веществе системы звуковых волн, квантами которых и являются фононы. Фонон принадлежит к числу бозонов^[1] и описывается статистикой Бозе–Эйнштейна. Спин фонона принимает значение 0 (в единицах ${\displaystyle \hbar }$ ). Фононы и их взаимодействие с электронами играют фундаментальную роль в современных представлениях о физике сверхпроводников, процессах теплопроводности, процессах рассеяния в твердых телах. Модель кристалла металла можно представить как совокупность гармонически взаимодействующих осцилляторов, причем наибольший вклад в их среднюю энергию дают колебания низких частот, соответствующие упругим волнам, квантами которых и являются фононы.

Фононы в одномерном кристалле с одним атомом в элементарной ячейке

В простейшем случае одномерного кристалла, состоящего из одинаковых атомов массы ${\displaystyle m\ }$ , равновесные положения которых определяются вектором решетки:

${\displaystyle \mathbf {n} =n\mathbf {a} ,\ }$

где ${\displaystyle n=1,2,...,N\ }$ . Предположим, что поперечные и продольные смещения атомов независимы. Пусть ${\displaystyle \xi _{n}\ }$  — одно из таких смещений атома, занимающего узел ${\displaystyle n\ }$ . В потенциальной энергии ${\displaystyle U\ }$ смещений нейтральных атомов из положений равновесия можно учитывать только взаимодействия соседних атомов. Тогда потенциальная энергия будет:

${\displaystyle U={\frac {1}{2}}\gamma \sum _{n=1}^{N}(\xi _{n}-\xi _{n-1})^{2}\ }$

Кинетическая энергия выражается через скорости смещений ${\displaystyle {\dot {\xi _{n}}}\ }$ с помощью функции:

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}m\sum _{n=1}^{N}{\dot {\xi _{n}}}^{2}\ }$ .

Введем циклические условия:

${\displaystyle \xi _{n}=\xi _{n+Na}\ }$ .

Одномерной решетке соответствует зона Бриллюэна в ${\displaystyle \mathbf {k} \ }$ - пространстве с границами:

${\displaystyle -\pi \leq \mathbf {k} a<\pi \ }$ .

Внутри этой зоны располагаются ${\displaystyle N\ }$ неэквивалентных волновых векторов:

${\displaystyle \mathbf {k} ={\frac {2\pi \mu }{Na^{2}}}\mathbf {a} ,\ }$

где ${\displaystyle \mu =0,\pm 1,\pm 2,...,\pm {\frac {N}{2}}\ }$ . От смещений отдельных атомов ${\displaystyle \xi _{n}\ }$ удобно перейти к новым обобщенным координатам ${\displaystyle A_{k}\ }$ , которые характеризуют коллективные движения атомов, соответствующие определенным значениям ${\displaystyle \mathbf {k} \ }$ . Для этого введем преобразование:

${\displaystyle \xi _{n}=N^{-1/2}\sum _{k=1}A_{k}\exp(i\mathbf {k} \mathbf {n} ).\ }$

Новые переменные должны удовлетворять условию:

${\displaystyle A_{k}=A_{-k}^{*}\ }$ .

Таким образом, потенциальная

${\displaystyle U={\frac {1}{2}}m\sum _{k=1}\Omega ^{2}(\mathbf {k} )A_{k}A_{-k}\ }$

и кинетическая энергия

${\displaystyle K={\frac {1}{2}}m\sum _{k=1}{\dot {A_{k}}}{\dot {A_{-k}}}\ }$ ,

где

${\displaystyle m\Omega ^{2}(\mathbf {k} )=m\Omega ^{2}(\mathbf {-k} )=4\gamma \sin ^{2}{\frac {\mathbf {k} \mathbf {a} }{2}}\ }$

выражаются через новые коллективные переменные и их временные производные. Нас в дальнейшем будет интересовать частота фононных колебаний в виде:

${\displaystyle \Omega (\mathbf {k} )=\Omega (\mathbf {-k} )=2{\sqrt {\frac {\gamma }{m}}}|\sin {\frac {\mathbf {k} \mathbf {a} }{2}}|\ }$

Зная частоту фононов как функцию ${\displaystyle \mathbf {k} \ }$ , можно вычислить фазовую ${\displaystyle V_{f}\ }$ и групповую ${\displaystyle V_{g}\ }$ скорости соответствующих элементарных возбуждений:

${\displaystyle V_{f}={\frac {\Omega (\mathbf {k} )}{k}}={\frac {2}{k}}{\sqrt {\frac {\gamma }{m}}}|\sin {\frac {\mathbf {k} \mathbf {a} }{2}}|\ }$

${\displaystyle V_{g}={\frac {d\Omega (\mathbf {k} )}{dk}}=a{\sqrt {\frac {\gamma }{m}}}|\cos {\frac {\mathbf {k} \mathbf {a} }{2}}|\ }$

Акустические и оптические фононы

Этот раздел слишком короткий. Пожалуйста, улучшите и дополните его. Замечания о том, что нужно улучшить, могут быть на странице обсуждения статьи.

Примечания

См. также

• Звук

Литература

• Соловьев В. Г. Теория атомного ядра: Квазичастицы и фононы. — Энергоатомиздат, 1989. — 304 с. — ISBN 5-283-03914-5.
• Давыдов А. С. Теория твердого тела. М.:Наука, 1976.- 636 с.
• Feynman, Richard P. Statistical Mechanics, A Set of Lectures. — Reading, Massachusetts : The Benjamin/Cummings Publishing Company, Inc., 1972. — ISBN Clothbound: 0-8053-2508-5, Paperbound: 0-8053-2509-3.
• Каганов М.И. "Квазичастица". Что это такое?. — Знание, 1971. — 75 с. — 12 500 экз.
• Фейнман Р. Статистическая механика. — Мир, 1975. — 407 с.