WikiSort.ru - Не сортированное

Классический случай

В классической механике движение частиц подчиняется второму закону Ньютона: ускорение равно силе, поделённой на массу, и направлено вдоль вектора силы. Сила, действующая на частицу в магнитном поле (сила Лоренца), пропорциональна произведению скорости движения частицы, напряжённости магнитного поля, заряду частицы, и синусу угла между направлением движения частицы и направлением магнитного поля. Направление силы перпендикулярно направлению магнитного поля и направлению движения частицы, и определяется правилом левой руки. Это правило можно проиллюстрировать простыми примерами:

• если частица движется вдоль магнитного поля, сила, действующая на неё, равна нулю
• если частица не заряжена, сила, действующая на неё, равна нулю
• если магнитного поля нет, сила, действующая на частицу, равна нулю
• если магнитное поле удвоить, сила, действующая на частицы, удвоится
• если скорость частицы увеличится в 10 раз (а направление движения останется тем же), сила, действующая на неё, тоже увеличится в 10 раз
• если частица движется поперёк магнитного поля, а другая, с тем же зарядом и с той же скоростью — под углом 30° к магнитному полю, сила, действующая на вторую частицу, в 2 раза меньше (потому что sin 30° = 1/2) .

Заряженная частица в постоянном магнитном поле будет или вращаться по окружности в плоскости, перпендикулярной вектору индукции магнитного поля, или двигаться по винтовой линии, причём ось спирали параллельна оси магнитного поля. Частица может иметь какую угодно энергию, и радиус окружности или спирали может быть каким угодно. Это было известно ещё в XIX веке.

Квантовый случай

В квантовой механике у частиц нет определённой координаты и можно говорить только о вероятности найти частицу в некоторой области пространства. Состояние частицы описывается волновой функцией, а динамика частицы (или системы частиц) описывается не вторым законом Ньютона, а гораздо более сложным уравнением Шредингера. (Уравнение Шредингера справедливо только в нерелятивистском случае, то есть когда скорости движения частиц значительно меньше скорости света, в противном случае действует ещё более сложное уравнение Дирака).

Характерной особенностью уравнения Шредингера является то, что его собственные значения могут быть дискретны. Например, планеты могут обращаться вокруг Солнца на орбитах с любым радиусом и могут иметь непрерывный набор значений энергии, а электрон в атоме водорода в квазиклассическом приближении «обращается» вокруг протона на орбитах с определёнными радиусами и может обладать только некоторыми разрешенными энергиями, представленными в энергетическом спектре.

С открытием законов квантовой механики возник вопрос: что происходит с движением частиц в магнитном поле в квантовомеханическом случае? Для решения этого вопроса необходимо решить уравнение Шредингера. Впервые это сделал 1930 году советский физик Ландау. Оказалось, что вдоль магнитного поля частица может двигаться с любой скоростью; но при заданной проекции скорости поперек магнитного поля частица может занимать дискретные энергетические уровни. Эти уровни были названы уровнями Ландау.

Ниже приводится уравнение Шредингера и его решения, причём:

• Уравнение (1) описывает энергетические уровни частицы
• Уравнение (3) является уравнением Шредингера в магнитном поле.
• Уравнение (7) описывает волновые функции
• Уравнение (10) описывает энергетические уровни частицы, когда есть не только магнитное поле, но и электрическое
• Уравнение (11) описывает энергетические уровни частицы в двумерном пространстве.

О решении уравнения Шрёдингера для электрона в магнитном поле

Стационарное уравнение Шрёдингера для электрона в магнитном поле представлено в виде

${\displaystyle {\frac {1}{2m}}\left({\hat {\mathbf {p} }}-{\frac {e}{c}}{\hat {\mathbf {A} }}\right)^{2}\Psi _{n}(\mathbf {r} )=E_{n}\Psi _{n}(\mathbf {r} ),\qquad (3)}$

где ${\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}}$ и ${\displaystyle {\hat {\mathbf {A} }}}$  — оператор импульса электрона и векторный потенциал магнитного поля соответственно, ${\displaystyle \Psi _{n}(\mathbf {r} )}$  — волновая функция электрона, ${\displaystyle E_{n}}$  — энергия и индекс ${\displaystyle n}$ обозначает n-ый уровень Ландау. В калибровке Ландау уравнение ${\displaystyle (3)}$ запишется в виде

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}-{\frac {eB}{c}}x\right)^{2}\right]\Psi _{n}(x,y,z)=E_{n}\Psi _{n}(x,y,z).\qquad (4)}$

Чтобы разделить переменные в этом уравнении, решение удобно искать в виде произведения трёх функций

${\displaystyle \Psi _{n}(x,y,z)={\frac {1}{\sqrt {L_{z}L_{y}}}}e^{ik_{z}z}e^{ik_{y}y}\psi _{n,k_{y}}(x),\qquad (5)}$

где ${\displaystyle L_{z}}$ и ${\displaystyle L_{y}}$  — размеры системы, ${\displaystyle k_{z}}$ и ${\displaystyle k_{y}}$  — волновые векторы, индекс ${\displaystyle k_{y}}$ у волновой функции ${\displaystyle \psi _{n,k_{y}}(x)}$ означает, что она зависит от него как от параметра. Подставляя ${\displaystyle (5)}$ в ${\displaystyle (4)}$ получим одномерное уравнение для ${\displaystyle \psi _{n,k_{y}}(x)}$

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega _{c}^{2}}{2}}(x-k_{y}l_{H}^{2})^{2}\right]\psi _{n,k_{y}}(x)=\epsilon _{n}\psi _{n,k_{y}}(x).\qquad (6)}$

Это уравнение — не что иное, как уравнение Шрёдингера для гармонического осциллятора со сдвигом минимума потенциала. Таким образом, решения запишутся в виде

${\displaystyle \psi _{n,k_{y}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2^{n}n!\pi ^{1/2}l_{H}}}}e^{-{\frac {(x-k_{y}l_{H}^{2})^{2}}{2l_{H}^{2}}}}H_{n}\left({\frac {(x-k_{y}l_{H}^{2})}{l_{H}}}\right),\qquad (7)}$

где ${\displaystyle H_{n}(x)}$  — многочлен Эрмита порядка ${\displaystyle n}$ .

О влиянии электрического поля

Теперь рассмотрим влияние электрического поля на энергетический спектр электрона в магнитном поле. Перепишем уравнение ${\displaystyle (6)}$ с учётом электрического поля ${\displaystyle \varepsilon }$ , направленного по ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega _{c}^{2}}{2}}(x-k_{y}l_{H}^{2})^{2}+e\varepsilon x\right]\psi _{n,k_{y}}(x)=E_{n,k_{y}}\psi _{n,k_{y}}(x),\qquad (8)}$

которое после выделения полного квадрата представляется в виде

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {m\omega _{c}^{2}}{2}}(x-X_{k_{y}})^{2}+e\varepsilon k_{y}l_{H}^{2}-{\frac {m}{2}}v_{d}^{2}\right]\psi _{n,k_{y}}(x)=E_{n,k_{y}}\psi _{n,k_{y}}(x),\qquad (9)}$

где ${\displaystyle X_{k_{y}}=k_{y}l_{H}^{2}-{\frac {v_{d}}{\omega _{c}}}}$ и ${\displaystyle v_{d}=c{\frac {\varepsilon }{B}}}$ . Мы видим из гамильтониана, что электрическое поле просто сдвигает центр волновой функции. Энергетический спектр задаётся следующим выражением:

${\displaystyle E_{n,k_{y}}=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)+e\varepsilon X_{k_{y}}-{\frac {m}{2}}v_{d}^{2}.\qquad (10)}$