WikiSort.ru - Не сортированное

Урарту

Самые древние источники о математических знаниях на территории Армении — это клинописные таблички времён Урартского царства (IX—VII века до н. э.). Они свидетельствуют, что в то время использовались десятичная и шестидесятеричная системы счисления^[1]. Десятичная система коренным образом отличалась от египетской и была близка к нашей современной системе^[2]. Клинописные таблички также свидетельствуют, что с помощью нескольких символов записывались достаточно большие целые числа, а также дробные числа, и с ними производились операции сложения и вычитания^[1]. Ниже приводится несколько примеров чисел, взятых из царских надписей Сардури II, где единицы — , десятки — , сотни — , тысячи — ^[3]:

Примеры урартских клинописных цифр

23 — 8135 — 25000 — 6000 — 2500 — 12300 — 32100 —

Урартийцы, высоко оценивая ассиро-вавилонскую культуру, перенимают у них клинообразные письмена, создают свою письменность и литературу, использованием клинообразных цифр вводят в употребление и делают обиходными крупные числа^[4]. Сравнение арифметики в древней Армении с урартской указывает на их непосредственную связь^[4].

Создание армянского алфавита

О математических знаниях армян, особенно в V—VI веках можно составить представление с одной стороны судя по философским и историческим трудам, где исследуются некоторые проблемы математики и астрономии, а с другой стороны — по остаткам вещественной культуры (замки, палаты, церкви, мосты и оросительные системы), для строительства которых требовались математические знания и точные расчёты, а также по участию армян в международной торговле. В V и в начале VI веков большое количество специально отобранных учеников из Армении были отправлены для продолжения учёбы в Александрию, Афины и в Рим. Об этом свидетельствовали армянские историки V века^[5].

До нынешних времён учёным — историкам науки не удалось найти чисто математические тексты, созданные армянами до V века, когда был создан армянский алфавит Месропом Маштоцем^[6]. После создания армянского алфавита открылись армянские школы^[7], где преподавали также математику. Армянские буквы использовались в качестве цифр, была создана алфавитная десятичная не позиционная система счисления, приведённая ниже (например: Գ — 3, Խ — 40, Չ — 700, Ք — 9000). Между алфавитными системами армян и греков, наряду со сходством, существовало и некоторое различие. Армяне употребляли 36 букв, а греки — 27. Урартская система использовалась параллельно с алфавитной, до тех пор, пока не была окончательно вытеснена ею. Но следы урартской системы остались в новой и передавались из поколения в поколение^[8].

Анания Ширакаци

Дошедшие до нас древние математические труды на армянском языке связаны с именем крупнейшего армянского учёного VII века, основоположника древнеармянского естествознания Анании Ширакаци. То, что до Анании Ширакаци в V—VI веках существовали армянские математики и математические труды на армянском языке, очевидно из одного свидетельства Ширакаци. Во введении к таблицам сложения Анания Ширакаци упомянул, что он переписывает в кратком виде труды своих предков:

Цель моя, о, любители мудрости и желающие учиться у меня: представить творчество наших предков — искусство осмысления, как живой голос доброго учителя. Учитесь на моих таблицах, хотя и изложил я их кратко, представив немного из многого.

Оригинальный текст (арм.)

«Արձանացուցանել ձեզ զջանս նախնեաց զարուեստս համարողութեան: <…> Ուսուցանիջիք իմոցս գծագրեացս թէպէտ և կարճառօտ կարգեցի զսակաւս ի բազմաց…»

— Анания Ширакаци^[9][10]

Анания Ширакаци внёс большой вклад в математику. Им был составлен учебник арифметики, состоящий из нескольких частей: таблицы с операциями сложения и вычитания, таблицы с операциями умножения и деления, таблицы чисел вида ${\displaystyle {\frac {6000}{n}}}$ , где ${\displaystyle n}$ пробегает все значения букв армянского алфавита, а частные округляются до целого числа (Шеститысячник, арм. «Վեցհազարյակ»). В Армении также имелись аналогичные таблицы для чисел вида ${\displaystyle {\frac {5000}{n}}{,}~{\frac {4000}{n}}}$ и некоторых других^[11]. Задачник, составленный Ананией Ширакаци состоит из 24 задач с ответами и из задач с занимательным содержанием (арм. «Խրախճանականներ»). Почти во всех задачах из задачника Анании Ширакаци отражена жизнь армянского народа: или в условиях говорится о событиях армянской истории, или применяются армянские меры^[11]. Задачи — линейные, с одним неизвестным, в одной (№ 22) требуется разделить величину в арифметической прогрессии. Встречающиеся в задачах дроби записаны в виде сумм долей единицы^[11].

В начале VII века в Византии, государственной религией которой было христианство, начинается серьёзная борьба против языческой науки и её представителей. В связи с этими событиями, значение естественных наук и математики в Армении сильно падает. Об этом пишет Анания Ширакаци в своей автобиографии^[12][13].

Историками науки показано, что начиная с I века до н. э. в Армении применяли следующие меры длины^[14]: аспарез (по воздуху), равный ${\displaystyle 107{\frac {1}{7}}}$ шагам, аспарез (по земле) — ${\displaystyle 142{\frac {6}{7}}}$ и ${\displaystyle 150}$ шагам, градус, заключающий в себе ${\displaystyle 500}$ аспарезов. Миля составляла ${\displaystyle 7}$ аспарезов и в одном случае равнялась ${\displaystyle 1000}$ шагам, в другом — ${\displaystyle 1050}$ , а шаг — ${\displaystyle 6}$ ступням, ступня — ${\displaystyle 16}$ пальцам. В VII веке в Армении длину между двумя городами мерили милями, а расстояние между планетой и Землёй — аспарезами^[15]. Вся информация о мерах длины была написана в труде Анании Ширакаци «Ашхарацуйц» (арм. Աշխարհացույց)^[16].

Математика в Армении после VII века

Продолжателем традиций Ширакаци является известный византийский математик и механик армянского происхождения Лев Математик (ок. 790 — ок. 869). В Константинополе он занимался преподаванием математики, а в 863 году создал и стал первым ректором Константинопольского университета. В математике Лев систематически применял буквы как арифметические символы, предвосхищая становление алгебры; он значительно упростил сложную символику Диофанта и сделал дальнейший шаг в развитии алгебраического направления в математике^[17]. Большой вклад в области математического образования конца XI начала XII века имеет Ованес Имастасер (Любомудрый), известный также как Иоанн Саркаваг (1045/55—1129). Из его математических трудов видно, что в армянских средневековых школах помимо практической изучали также теоретическую арифметику — теорию чисел. Один из его трудов включает в себя армянскую версию таблиц умножения Пифагора. Его сочинение «Многоугольные числа» опиралось на «Арифметику» Никомаха^[11]. Ованес Имастасер является автором труда «Полигональные числа», который использовался в качестве учебника в XI—XII веках^[18].

Математическое образование в Армении достигло высокого уровня в XI—XIV веках в армянских средневековых университетах: в Гладзорском университете (основан в 1282 году), в Татевском университете (основан в 1373 году), также в школах Ани, Ахпата и в других учебных заведениях, в том числе и за пределами Армении^[1].

Также продолжателем традиций Ширакаци является византийский математик армянского происхождения XIV века Николай Рабдас Артавазд^[19]. Сохранились его два письма на греческом языке. В одном из них говорится о том, как можно представить пальцами руки числа от 1 до 9999, а в другом — об извлечении квадратного корня из чисел^[20].

В армянских школах использовались труды греческих классиков. Армянские учёные занимались переводами этих трудов. «Начала» Евклида были переведены на армянский язык несколькими авторами. Сохранившиеся отдельные части перевода относятся и к Анании Ширакаци, и к Григорию Магистросу (перевёл непосредственно с греческого текста в 1051 году)^[21][11], и к другим. Согласно Г. Б. Петросяну, старейшим, после арабского, переводом «Начал» Евклида является армянский перевод Григора Магистроса. Дошедшие до нас фрагменты «Начал» Евклида в армянском переводе содержат перечисление постулатов и аксиом, легших в основу «Начал»; они проливают новый свет в частности на постулат о параллельных^[22][23]. В 1959 году был обнаружен ещё один перевод «Начал», сделанный Григором Кесарцем в XVII веке^[24].

XX век

В 1921 году в Ереване был основан армянский университет^[40]. Преподавание высшей математики начали со дня основания университета в техническом факультете и в факультете естествознания, а математиков готовили начиная с 1924 года в физико-математическом отделе педагогического факультета^[40]. Но в период 1921—1933 годов в университете готовили только учителей математики для общеобразовательных и средних профессиональных школ^[41]. Уже после 1933 года физико-математический факультет Ереванского государственного университета стал действительно университетским факультетом с 5-летним учебным планом, там стали готовить учёных-математиков^[41]. В 1959 году физико-математический факультет был разделён на механико-математический и физический факультеты. С 1963 года в факультете начали готовить учёных в области математической кибернетики, а в 1972 году был создан факультет прикладной математики и информатики^[42].

Самостоятельная научно-творческая деятельность в области математики в Советской Армении началась в 1937—1941 годах, когда несколько выпускников физико-математического факультета Ереванского государственного университета продолжили учёбу в Москве и в Ленинграде, защитили диссертации и вернулись в Ереван^[43].

Здание Президиума Национальной академии наук Республики Армения	Здание Ереванского государственного университета	Здание Национального политехнического университета Армении

В 1943 году была основана Академия наук Армянской ССР (на основе Армянского филиала Академии наук СССР, созданного в 1935 году, ныне — Национальная академия наук Республики Армения)^[44]. В 1944 году было создано отделение механики и математики АН Армянской ССР. Позднее отделение было преобразовано в Институт математики и механики АН Армянской ССР. Институт математики был выделен в отдельную организацию в 1971 году. В 1956 году был создан Ереванский научно-исследовательский институт математических машин (ныне — Ереванский научно-исследовательский институт автоматизированных систем управления). В 1957 году был создан Вычислительный центр АН Армянской ССР (ныне — Институт информатики и проблем автоматизации НАН РА), где начали исследовать математические проблемы кибернетики и вычислительной техники, математическую обеспеченность систем автоматизации, автоматизацию научных исследований. Крупным центром исследований в области прикладной математики, информатики и компьютерных систем также является Национальный политехнический университет Армении. В 1961 году в НПУА был создан факультет компьютерных систем и информатики. Также в университете есть факультеты прикладной математики и физики, кибернетики^[45].

У истоков создания армянской математической школы стоял академик АН Армянской ССР Арташес Шагинян (1906—1978)^[46]. Арташес Шагинян был первым советским армянским математиком^[47]. После окончания аспирантуры Ленинградского университета в 1937 году он вернулся в Ереван, успешно занимался одновременно научной и педагогической работой^[48]. Последователями армянской математической школы стали: М. М. Джрбашян, С. Н. Мергелян, Р. А. Александрян, Н. Х. Арутюнян, Г. Б. Петросян, В. В. Сагателян^ru_hy, Н. Г. Гаспарян^[49], Г. В. Бадалян^[50], Н. Е. Товмасян, А. А. Талалян, В. А. Мартиросян, И. Г. Хачатрян^ru_hy, Г. А. Амбарцумян^ru_hy; современные учёные В. С. Захарян, А. Б. Нарсисян, Р. В. Амбарцумян, Н. У. Аракелян, Г. Г. Геворкян, А. А. Саакян и многие другие^[51].

Теория приближений

Исследования вопросов о полноте полиномов в комплексной области в Армении были начаты в конце 1930-х годов Арташесем Шагиняном^[52] и активным образом продолжались в 1940-х годах им, академиками АН Армянской ССР Мхитаром Джрбашяном (1918—1994), Сергеем Мергеляном (1928—2008)^[53][54]. Была исследована возможность приближения функций полиномами, а также вопросы о наилучшем приближении, относительно интегральной и равномерно-весовой метрик^[53]. В случае интегральных метрик были получены точные признаки для некоторых широких классов областей. Было получено полное решение равномерно-весового полиномного приближения для действительной оси^[53]. Так с половины 1940 годов началась организация армянской математической школы теории функций^[53].

Сергеем Мергеляном было получено решение для равномерного приближения полиномами в комплексной области^[53]. Этот метод был успешно применён также в вопросах о возможности равномерного приближения рациональными функциями, о наилучшем полиномном приближении^[53]. Эти работы Сергея Мергеляна были отмечены Сталинской премией.

В 1950-х годах Мхитаром Джрбашяном были начаты исследования среднего, равномерного и касательного приближений целыми функциями, которые получили окончательное решение в 1960—1970-х годах^[53]. Полностью были решены задача о равномерном приближении аналитическими (частично целыми) функциями, задача о описании скорости касательного приближения^[53].

Академиком АН Армянской ССР Норайром Аракеляном были получены решения нескольких общих задач о наилучших приближениях целыми функциями. Эти работы Норайра Аракеляна были отмечены премией Ленинского комсомола^[53]. Эти результаты были успешно применены в теории распределения значений^[53]. Начиная с 1970-х годов, Мхитаром Джрбашяном и другими были осуществлены исследования полноты и базисности некоторых систем аналитических функций^[53]. Норайром Аракеляном были получены ценные результаты о взаимосвязи вопросов о классическом аналитическом продолжении и теории комплексного приближения^[53].

Теория функций действительного переменного

Исследования в области функций действительного переменного (аналитических функций) в Армении начались в 1950-х годах^[53]. В начальном периоде исследования в основном относились к вопросу о представлении измеримых функций ортогональными (в частности — тригонометрическими) рядами и к вопросу о единственности этих рядов^[53]. В этой области осуществил исследования академик НАН РА Александр Талалян (1928—2016)^[53]. Александр Талалян доказал общие теоремы, согласно которым рядами полных ортогональных систем могут быть представлены все измеримые функции^[53]. С 1965 года под руководством Александра Талаляна ведутся исследования общих ортогональных систем и базисов^[56]. Получены важные результаты о существовании универсальных (в различных смыслах) ортогональных рядов^[56]. Решена задача восстановления рядов Уолша, сходных с интегрируемыми функциями, и доказаны такие теоремы единственности типов Кантора и Валле Пуссена для систем Гаара и Уолша, сходные с которыми для триганометрических систем не существовали или не были известны до этого^[56].

Некоторые исследования в области теории функций комплексного переменного произвёл Гайк Бадалян^[57]. Задача Сеге о покрытии отрезков решена Гайком Бадаляном для ограниченных функций из класса ${\displaystyle S}$ ^[57].

Функциональный анализ

Исследования в области функционального анализа начались в 1950-х годах в Ереванском университете и в Институте математики АН Армянской ССР, и были посвящены вопросу о сходстве граничных задач нового типа в гильбертовом пространстве с задачей Коши^[56]. Эти исследования осуществил академик АН Армянской ССР Рафаэль Александрян (1923—1988)^[56]. За цикл работ «Математические исследования по качественной теории вращающейся жидкости» он был удостоен Государственной премии СССР. В дальнейшем несколькими учёными была расширена тематика исследований в областях функционального анализа и интегрального и дифференциального исчислений^[56]. Основными направлениями исследований были: теория операторов, операторные уравнения, спектральная теория самосопряжённых операторов^[56]. Была разработана идея ядра спектра, в особенности термин резольвенты произвольного самосопряжённого оператора, а также универсальный способ построения полной системы собственных функционалов и теоремы о спектральном анализе по данным функционалам^[56]. Были обнаружены асимптотические периодические условия решений нестационарных операторных уравнений некоторых классов, содержащих уравнение Шрёдингера^[56].

Впервые на обратные задачи спектрального анализа дифференциальных операторов и на их важность для приложений обратил внимание Виктор Амбарцумян (ему же принадлежит следующий первый результат в этих задачах: если для непрерывной функции ${\displaystyle \varphi (x)}$ краевая задача ${\displaystyle y^{''}+\pi (x)y+\lambda y=0}$ , где ${\displaystyle 0\leqslant x\leqslant \pi }$ и ${\displaystyle y^{'}(0)=y^{'}(\pi )=0}$ , имеет спектр ${\displaystyle \lambda _{n}=n^{2}~(n=1{,}~2{,}~3{,}\cdots )}$ , то ${\displaystyle \varphi (x)=0}$ )^[58]. Академик АН СССР Виктор Амазаспович Амбарцумян (1908—1996) является одним из величайших астрофизиков XX века. Немаловажны также его труды по смежным с астрофизикой наукам: по математике и по физике.

Некоторые из результатов о спектре дифференциального оператора ${\displaystyle L}$ в пространстве ${\displaystyle L(0,\infty )}$ перенесены академиком АН Армянской ССР, радиофизиком Радиком Мартиросяном на дифференциальные операторы в частных производных^[59].

XXI век

В сегодняшнее время в Армении основные математические исследования ведутся в Институте математики НАН РА и в Ереванском государственном университете. В первые годы работы Институт математики НАН РА занимался в основном теорией функций. Со временем сфера исследований расширилась и в настоящее время включает комплексный анализ, действительный анализ, дифференциальное и интегральное исчисление, теорию вероятностей, математическую статистику, математическую физику^[62].

В сегодняшнее время в Армении издаются следующие математические журналы: «Известия НАН Армении: Математика» (Национальная академия наук Республики Армения, главный редактор — Артур Саакян)^[63], Армянский журнал математики (Национальная академия наук Республики Армения, главный редактор — Анри Нерсисян)^[64], Математика в высшей школе (Национальный политехнический университет Армении, главный редактор — Ваник Захарян), «Вестник ЕГУ. Серия физики и математики» (Ереванский государственный университет, главный редактор — Варужан Атабекян)^[65], также действует Армянский математический союз, который объединяет математиков страны^[66].