WikiSort.ru - Не сортированное

Египетская дробь — в математике сумма нескольких попарно различных дробей вида ${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ (так называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.

Пример: ${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{16}}}$ .

Египетская дробь представляет собой положительное рациональное число вида a/b; к примеру, египетская дробь, записанная выше, может быть записана в виде дроби 43/48. Можно показать, что каждое положительное рациональное число может быть представлено в виде египетской дроби (вообще говоря, бесконечным числом способов^[1]). Сумма такого типа использовалась математиками для записи произвольных дробей, начиная со времён древнего Египта до средневековья. В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби, однако египетские дроби продолжают изучаться в теории чисел и истории математики.

История

Древний Египет

Дополнительную информацию по данному вопросу см. в Египетская система счисления, Математика в Древнем Египте.

Египетские дроби были изобретены и впервые использованы в Древнем Египте. Одним из первых известных упоминаний о египетских дробях является Математический папирус Ринда. Три более древних текста, в которых упоминаются египетские дроби — это Египетский математический кожаный свиток, Московский математический папирус и Деревянная табличка Ахмима. Папирус Ринда был написан писцом Ахмесом в эпоху Второго переходного периода; он включает таблицу египетских дробей для рациональных чисел вида 2/n, а также 84 математических задачи, их решения и ответы, записанные в виде египетских дробей.

Египтяне ставили иероглиф

(ер, «[один] из» или ре, рот) над числом для обозначения единичной дроби в обычной записи, а в иератических текстах использовали линию. К примеру:

${\displaystyle ={\frac {1}{3}}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{10}}}$

У них также были специальные символы для дробей 1/2, 2/3 и 3/4 (последние два знака — единственные используемые египтянами дроби, не являющиеся аликвотными), которыми можно было записывать также другие дроби (большие чем 1/2).

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle ={\frac {2}{3}}}$

${\displaystyle ={\frac {3}{4}}}$

Египтяне использовали также и другие формы записи, основанные на иероглифе Глаз Хора для представления специального набора дробей вида 1/2^k (для k = 1, 2, …, 6), то есть, двухэлементных рациональных чисел. Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить хекат (~4,785 литра), основную меру объёма в Древнем Египте. Эта комбинированная запись также использовалась для измерения объёма зерна, хлеба и пива. Если после записи количества в виде дроби Глаза Хора оставался какой-то остаток, его записывали в обычном виде кратно ро, единице измерения, равной 1/320 хеката.

Например, так:

${\displaystyle ={\frac {1}{331}}}$

При этом «рот» помещался перед всеми иероглифами.

Современная теория чисел

Современные математики продолжают исследовать ряд задач, связанных с египетскими дробями.

• В конце прошлого века были даны оценки максимального знаменателя и длины разложения произвольной дроби в египетские. Дробь x/y имеет разложение в египетские дроби с максимальным знаменателем не более

${\displaystyle O\left({\frac {y\log ^{2}y}{\log \log y}}\right)}$

(Tenenbaum & Yokota 1990) и с числом слагаемых не более

${\displaystyle O\left({\sqrt {\log y}}\right)}$

(Vose 1985)

• Гипотеза Эрдёша — Грэма утверждает, что для всякой раскраски целых чисел больших 1 в r > 0 цветов существует конечное одноцветное подмножество S целых, для которого

${\displaystyle \sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1.}$

Эта гипотеза доказана Эрнестом Крутом^[en] в 2003 году.

Открытые проблемы

Египетские дроби ставят ряд трудных и по сей день нерешенных математических проблем.

• Гипотеза Эрдёша — Штрауса утверждает, что для всякого целого числа n ≥ 2, существуют положительные целые x, y и z, при которых

${\displaystyle {\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}.}$

Компьютерные эксперименты показывают, что гипотеза верна для всех n ≤ 10¹⁴, но доказательство пока не найдено. Обобщение этой гипотезы утверждает, что для всякого положительного k существует N, при котором для всех n ≥ N существует разложение

${\displaystyle {\frac {k}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}.}$

Эта гипотеза принадлежит Анджею Шинцелю.

Примечания

Литература

• Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. Перевод с голландского Н. Веселовского. М.: Физматгиз, 1959, 456 с. (Репринт: М.: УРСС, 2007)
• Нейгебауэр О. Лекции по истории античных математических наук (Догреческая математика). Т. 1. М.-Л.: ОНТИ, 1937.
• Нейгебауэр О. Точные науки в древности. М.: Наука, 1968. (Репринт: М.: УРСС, 2003)
• Раик А. Е. Очерки по истории математики в древности. Саранск, Мордовское гос. изд-во, 1977.
• Раик А. Е. К истории египетских дробей. Историко-математические исследования, 23, 1978, с. 181—191.
• Яновская С. А. К теории египетских дробей. Труды Института истории естествознания, 1, 1947, с. 269—282.
• Beeckmans, L. (1993). “The splitting algorithm for Egyptian fractions”. Journal of Number Theory. 43: 173—185.
• Botts, Truman (1967). “A chain reaction process in number theory”. Mathematics Magazine: 55—65.
• Breusch, R. (1954). “A special case of Egyptian fractions, solution to advanced problem 4512”. American Mathematical Monthly. 61: 200—201.
• Bruins, Evert M. (1957). “Platon et la tabl égyptienne 2/n”. Janus. 46: 253—263.
• Eves, Howard. An Introduction to the History of Mathematics,. — Holt, Reinhard, and Winston, 1953. — ISBN 0-03-029558-0.
• Gillings, Richard J. Mathematics in the Time of the Pharaohs. — Dover, 1982. — ISBN ISBN 0-486-24315-X.
• Graham, R. L. (1964). “On finite sums of reciprocals of distinct nth powers” (PDF). Pacific Journal of Mathematics. 14 (1): 85—92. Архивировано из оригинала (PDF) 2009-11-22. Проверено 2008-01-22. Используется устаревший параметр |deadlink= (справка)
• Hultsch, Friedrich. Die Elemente der ägyptischen Theilungsrechnung. — Leipzig : S. Hirzel, 1895.
• Knorr, Wilbur R. (1982). “Techniques of fractions in ancient Egypt and Greece”. Historia Mathematica. 9: 133—171.
• Lüneburg, Heinz. Leonardi Pisani Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers. — Mannheim : B. I. Wissenschaftsverlag, 1993. — ISBN ISBN 3-411-15461-6.
• Martin, G. (1999). “Dense Egyptian fractions”. Transactions of the American Mathematical Society. 351: 3641—3657.
• Menninger, Karl W. Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers. — MIT Press, 1969. — ISBN ISBN 0-262-13040-8.
• Robins, Gay; Shute, Charles. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. — Dover, 1990. — ISBN ISBN 0-486-26407-6.
• Stewart, B. M. (1954). “Sums of distinct divisors”. American Journal of Mathematics. 76: 779—785.
• Stewart, I. (1992). “The riddle of the vanishing camel”. Scientific American (June): 122—124.
• Struik, Dirk J. A Concise History of Mathematics. — Dover, 1967. — P. 20–25. — ISBN ISBN 0-486-60255-9.
• Takenouchi, T. (1921). “On an indeterminate equation”. Proc. Physico-Mathematical Soc. of Japan, 3rd ser. 3: 78—92.
• Tenenbaum, G.; Yokota, H. (1990). “Length and denominators of Egyptian fractions”. Journal of Number Theory. 35: 150—156.
• Vose, M. (1985). “Egyptian fractions”. Bulletin of the London Mathematical Society. 17: 21.
• Wagon, S. Mathematica in Action. — W.H. Freeman, 1991. — P. 271–277.

Ссылки

• Дэвид Эппштейн. Egyptian Fractions (неопр.). Архивировано 19 февраля 2012 года.
• Egyptian fractions (неопр.). Архивировано 19 февраля 2012 года.
• Mathematics in Egyptian Papyri (неопр.) (2000). Архивировано 19 февраля 2012 года.
• Weisstein, Eric W. Egyptian Fraction (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Браун, Кевин. RMP 2/nth table (неопр.) (недоступная ссылка — история ). (недоступная ссылка)

Для улучшения этой статьи желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники.