WikiSort.ru - Не сортированное

Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) в математике — линейная часть приращения дифференцируемой функции или отображения. Это понятие тесно связано с понятием производной по направлению.

Обозначения

Обычно дифференциал ${\displaystyle f}$ обозначается ${\displaystyle df}$ . Некоторые авторы предпочитают обозначать ${\displaystyle \operatorname {d} f}$ шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором. Дифференциал в точке ${\displaystyle x}$ обозначается ${\displaystyle d_{x}f}$ , а иногда ${\displaystyle df_{x}}$ или ${\displaystyle df[x]}$ . (${\displaystyle d_{x}f}$ есть линейная функция на касательном пространстве в точке ${\displaystyle x}$ .)

Если ${\displaystyle v}$ есть касательный вектор в точке ${\displaystyle x}$ , то значение дифференциала на ${\displaystyle v}$ обычно обозначается ${\displaystyle df(v)}$ , в этом обозначении ${\displaystyle x}$ излишне, но обозначения ${\displaystyle d_{x}f(v)}$ , ${\displaystyle df_{x}(v)}$ и ${\displaystyle df[x](v)}$ также правомерны.

Используется так же обозначение ${\displaystyle f_{*}}$ ; последнее связано с тем, что дифференциал ${\displaystyle f\colon M\to N}$ является естественным поднятием ${\displaystyle f}$ на касательные расслоения к многообразиям ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ .

Определения

Связанные определения

• Точка ${\displaystyle x}$ многообразия ${\displaystyle M}$ называется критической точкой отображения ${\displaystyle f:M\to N}$ , если дифференциал ${\displaystyle d_{x}f:T_{x}M\to T_{f(x)}N}$ не является сюрьективным (см. также теорема Сарда)
  • Например, критические точки функций ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$  — в точности стационарные точки. Для функций ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ это точки, в которых матрица дифференциала вырождается.
  • В этом случае ${\displaystyle f(x)}$ называется критическим значением ${\displaystyle f}$ .
  • Точка ${\displaystyle y\in N}$ называется регулярной, если она не является критической.
• Гладкое отображение ${\displaystyle F\colon M\to N}$ называется субмерсией, если для любой точки ${\displaystyle x\in M}$ , дифференциал ${\displaystyle d_{x}F\colon T_{x}M\to T_{F(x)}N}$ сюръективен.
• Гладкое отображение ${\displaystyle F\colon M\to N}$ называется гладким погружением, если для любой точки ${\displaystyle x\in M}$ , дифференциал ${\displaystyle d_{x}F\colon T_{x}M\to T_{F(x)}N}$ инъективен.

Свойства

• Дифференциал композиции равен композиции дифференциалов:

  ${\displaystyle d(F\circ G)=dF\circ dG}$ или ${\displaystyle d_{x}(F\circ G)=d_{G(x)}F\circ d_{x}G}$

Примеры

• Пусть в открытом множестве ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} }$ задана гладкая функция ${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ . Тогда ${\displaystyle df=f'\,dx}$ , где ${\displaystyle f'}$ обозначает производную ${\displaystyle f}$ , а ${\displaystyle dx}$ является постоянной формой, определяемой ${\displaystyle dx(V)=V}$ .
• Пусть в открытом множестве ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ задана гладкая функция ${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ . Тогда ${\displaystyle df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,dx_{i}}$ . Форма ${\displaystyle dx_{i}}$ может быть определена соотношением ${\displaystyle dx_{i}(V)=v_{i}}$ , для вектора ${\displaystyle V=(v_{1},\;v_{2},\;\ldots ,\;v_{n})}$ .
• Пусть в открытом множестве ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ задано гладкое отображение ${\displaystyle F\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{m}}$ . Тогда

  ${\displaystyle d_{x}F(v)=J(x)v,}$

где ${\displaystyle J(x)}$ есть матрица Якоби отображения ${\displaystyle F}$ в точке ${\displaystyle x}$ .

См. также

• Кодифференциал

Для улучшения этой статьи желательно: Проставив сноски, внести более точные указания на источники. Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники, подтверждающие написанное.