В математике аликвотная последовательность — это рекурсивная последовательность, в которой каждый член является суммой собственных делителей предыдущего члена. Аликвотная последовательность, начинающаяся с некоторого положительного целого числа k, может быть определена формально в терминах суммирующей функции делителей σ1 следующим образом[1]:
Например, аликвотная последовательность для числа 10 — 10, 8, 7, 1, 0, поскольку:
Многие аликвотные последовательности завершаются нулём (последовательность A080907 в OEIS), и все такие последовательности завершаются простым числом с последующими единицей (поскольку единственным собственным делителем простого числа является единица) и нулём (поскольку у единицы нет собственных делителей). Имеется также несколько случаев, когда аликвотная последовательность бесконечна:
Длины аликвотных последовательностей, начинающихся с n:
Последний элемент аликвотных последовательностей (не включая 1), начинающихся с n:
Числа, аликвотные последовательности которых завершаются 1:
Числа, аликвотные последовательности которых завершаются совершенным числом:
Числа, аликвотные последовательности которых завершаются циклом длины 2:
Числа, для которых не известно, являются ли их аликвотные последовательности конечными или периодическими:
Важной гипотезой относительно аликвотных последовательностей, принадлежащей Каталану, является предположение, что любая аликвотная последовательность завершается одним из перечисленных путей — простым числом, совершенным числом, набором дружественных чисел или набором компанейских чисел[2]. В противном случае должны существовать числа, аликвотная последовательность которых бесконечна и апериодична. Любое из упомянутых выше чисел, для которых аликвотная последовательность не определена полностью, может оказаться таким числом. Первые пять кандидатов называются пятёрка Лемера (по имени американского математика Дика Лемера): 276, 552, 564, 660 и 966[3].
К декабрю 2013 года известно 898 положительных целых чисел, меньших 100 000, для которых аликвотная последовательность не установлена, и 9205 таких чисел, меньших 1 000 000[4].
Аликвотная последовательность долго сохраняет свою чётность[5][6]. Смена чётности происходит на членах вида и
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .