WikiSort.ru - Не сортированное

ПОИСК ПО САЙТУ | о проекте

Альтернати́ва Фредго́льма — совокупность теорем Фредгольма о разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода.

Приводятся различные формулировки альтернативы. В части источников под альтернативой Фредгольма понимается только первая теорема Фредгольма, утверждающая, что либо неоднородное уравнение имеет решение при любом свободном члене, либо сопряженное (союзное) уравнение имеет нетривиальное решение^[1]. Альтернатива Фредгольма для интегральных уравнений является обобщением на бесконечномерный случай аналогичных теорем в конечномерном пространстве (для систем линейных алгебраических уравнений). Обобщена Ф. Риссом на линейные операторные уравнения со вполне непрерывными операторами в банаховых пространствах^[2].

Конечномерное пространство

Либо уравнение ${\mathcal {A}}z=u$ имеет решение при любой правой части $u\in W$ , либо сопряжённое к нему уравнение ${\mathcal {A}}^{*}w=0$ имеет нетривиальное решение

Доказательство

Способ 1

Пусть $r=\operatorname {rg} {\mathcal {A}},~m=\operatorname {dim} W$ . Возможны два случая: либо $r=m$ , либо $r<m$ . Условие $r=m$ равносильно условию $im{\mathcal {A}}=W$ , которое означает, что уравнение ${\mathcal {A}}z=u$ имеет решение при любом $u\in W$ . При этом так как $\operatorname {rg} {\mathcal {A}}=\operatorname {rg} {\mathcal {A}}^{*}$ , то $\operatorname {ker} {\mathcal {A}}^{*}={\mathcal {f}}0{\mathcal {g}}$ и уравнение ${\mathcal {A}}^{*}w=0$ не имеет ненулевого решения. Условие $r<m$ равносильно условию $\operatorname {def} {\mathcal {A}}^{*}>0$ , которое означает существование ненулевого вектора $w\in \operatorname {ker} {\mathcal {A}}^{*}$ , то есть ненулевого решения ${\mathcal {A}}^{*}w=0$ . При этом $\operatorname {im} {\mathcal {A}}\neq W$ и уравнение ${\mathcal {A}}z=u$ имеет решение не для любого $u\in W$ .

Способ 2

Пусть система (1), то есть $A\cdot X=B$ , имеет решение при любом $B$ . В этом случае $\operatorname {rg} A=m$ , так как иначе при некотором $B$ $\operatorname {rg} A$ оказался бы меньше ранга расширенной матрицы и система (1) была бы несовместной в силу теоремы Кронекера — Капелли. Так как $\operatorname {rg} A^{T}=\operatorname {rg} A$ , то в этих условиях $\operatorname {rg} A^{T}=m$ , то есть равен числу неизвестных в системе (2) и эта система имеет только тривиальное решение.
Пусть теперь система $A\cdot X=B$ при некотором $B$ несовместна. Следовательно $\operatorname {rg} A<m$ , значит и $\operatorname {rg} A^{T}<m$ , то есть ранг матрицы системы (2) меньше числа неизвестных и эта система имеет ненулевое решение.

В доказательстве используются обозначения: $\operatorname {rg} A$ — ранг матрицы $A$ , $\operatorname {dim} W$ — размерность пространства $W$ , $\operatorname {im} {\mathcal {A}}$ — образ оператора ${\mathcal {A}}$ , $\operatorname {def} {\mathcal {A}}$ — дефект оператора ${\mathcal {A}}$ , $\operatorname {ker} {\mathcal {A}}$ — ядро оператора ${\mathcal {A}}$ , $A^{T}$ — транспонированная матрица.

Альтернатива Фредгольма для линейного оператора ${\mathcal {A}}$ , действующего в одном пространстве $V$ , означает, что либо основное уравнение имеет единственное решение при любом $u\in V$ , либо сопряжённое к нему однородное уравнение имеет нетривиальное решение^[1].

Интегральные уравнения

Формулировки

Альтернатива Фредгольма формулируется для интегрального уравнения Фредгольма

\varphi (x)=\lambda \int \limits _{0}^{a}K(x,y)\varphi (y)\,dy+f(x)\qquad (1)

с непрерывным ядром $K(x,y)$ и союзного к нему уравнения

\psi (x)={\bar {\lambda }}\int \limits _{0}^{a}K^{*}(x,y)\psi (y)\,dy+g(x),\qquad (1')

$K^{*}(x,y)={\overline {K(y,x)}}$ . Однородное уравнение − это уравнение с нулевым свободным членом f или g.

Формулировка 1. Если интегральное уравнение (1) с непрерывным ядром разрешимо в $C[0,a]$ при любом свободном члене $f\in C[0,a]$ , то и союзное к нему уравнение (1') разрешимо в $C[0,a]$ при любом свободном члене $g\in C[0,a]$ , причем эти решения единственны (первая теорема Фредгольма).

Если интегральное уравнение (1) разрешимо в C[0, a] не при любом свободном члене $f$ , то:

1) однородные уравнения (1) и (1') имеют одинаковое (конечное) число линейно независимых решений (вторая теорема Фредгольма);

2) для разрешимости уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы свободный член $f$ был ортогонален ко всем решениям союзного однородного уравнения (1') (третья теорема Фредгольма)^[3].

Формулировка 2. Если однородное интегральное уравнение Фредгольма имеет только тривиальное решение, то соответствующее неоднородное уравнение всегда имеет одно и только одно решение. Если же однородное уравнение имеет некоторое нетривиальное решение, то неоднородное интегральное уравнение либо вовсе не имеет решения, либо имеет бесконечное число решений в зависимости от заданной функции $f(x)$ ^[4]^[5].

Идея доказательства

Вырожденное ядро

Интегральное уравнение Фредгольма (1) с вырожденным ядром вида

K(x,y)=\sum _{i=1}^{N}f_{i}(x)g_{i}(y)

можно переписать в виде

\varphi (x)=\lambda \sum \limits _{i=1}^{N}c_{i}f_{i}(x)+f(x),

где

c_{i}=\int \limits _{0}^{a}\varphi (y)g_{i}(y)\,dy

— неизвестные числа. Путём умножения полученного равенства на $g_{k}(x)$ и интегрирования по отрезку $[0,a]$ уравнение с вырожденным ядром сводится к эквивалентной ему системе линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных $(c_{1},c_{2},\dots ,c_{N})$ :

c_{k}=\lambda \sum _{i=1}^{N}\alpha _{ki}c_{i}+a_{k},

где

\alpha _{ki}=\int \limits _{0}^{a}g_{k}(x)f_{i}(x)\,dx,\quad a_{k}=\int \limits _{0}^{a}g_{k}(x)f(x)\,dx.

.

Поэтому альтернатива Фредгольма непосредственно следует из конечномерного случая^[6].

Произвольное непрерывное ядро

В общем случае доказательство альтернативы Фредгольма для интегральных уравнений основано на представлении произвольного непрерывного ядра в виде

K(x,y)=P(x,y)+Q(x,y),

где $P(x,y)$ — вырожденное ядро (многочлен) и $Q(x,y)$ — малое непрерывное ядро, $|Q(x,y)|<\varepsilon ,\,0\leq x\leq a$ . Тогда уравнение (1) принимает вид

\varphi =\lambda P\varphi +\lambda Q\varphi +f,

где $P$ и $Q$ — интегральные операторы с ядрами $P(x,y)$ и $Q(x,y)$ соответственно.

Введем неизвестную функцию $\Phi (x)$ по формуле

\Phi =\varphi -\lambda Q\varphi

.

При $|\lambda |<{\frac {1}{\varepsilon a}}$ функция $\varphi$ однозначно выражается через $\Phi$ по формуле

\varphi =(I-\lambda Q)^{-1}\Phi =(I+\lambda R)\Phi ,

где $I$ — единичный оператор, $R$ — интегральный оператор с ядром $R(x,y,\lambda )$ — резольвентой ядра $Q(x,y)$ . Тогда исходное уравнение принимает вид

\Phi =\lambda T\Phi +f,

где

T=P+\lambda PR

— интегральный оператор с вырожденным ядром

T(x,y,\lambda )=P(x,y)+\lambda \int \limits _{0}^{a}P(x,\xi )R(\xi ,y,\lambda )d\xi ,

аналитическим по $\lambda$ в круге $|\lambda |<{\frac {1}{\varepsilon a}}$ . Аналогично союзное интегральное уравнение (1') преобразуется к виду

\psi ={\bar {\lambda }}T^{*}\psi +g_{1}.

Таким образом, уравнения (1) и (1') эквивалентны в круге $|\lambda |<{\frac {1}{\varepsilon a}}$ уравнениям с вырожденными ядрами, что позволяет вывести альтернативу Фредгольма для общего случая^[6].

Следствия

Множество характеристических чисел непрерывного ядра не имеет конечных предельных точек и, значит, не более чем счётно. Действительно, в каждом круге $|\lambda |<{\frac {1}{\varepsilon a}}$ характеристические числа ядра $K(x,y)$ совпадают с характеристическими числами вырожденного ядра, которые являются нулями аналитической функции.
Каждое характеристическое число имеет конечную кратность (число линейно независимых собственных функций). Следует из второй теоремы Фредгольма. Характеристические числа можно пронумеровать в порядке возрастания их модуля:

|\lambda _{1}|\leq |\lambda _{2}|\leq \dots ,

повторяя в этой последовательности $\lambda _{k}$ столько раз, какова его кратность.

Если $\lambda _{0}$ — характеристическое число ядра $K(x,y)$ , то ${\bar {\lambda }}_{0}$ — характеристическое число ядра $K^{*}(x,y)$ , причем они имеют одинаковую кратность.
Собственные функции $\varphi _{k}$ и $\psi _{i}$ ядер $K(x,y)$ и $K^{*}(x,y)$ , отвечающие характеристическим числам $\lambda _{k}$ и ${\bar {\lambda }}_{i}$ соответственно, причем $\lambda _{k}\neq \lambda _{i}$ , ортогональны: $(\varphi _{k},\psi _{i})=0$ .

Используя данные свойства, можно переформулировать альтернативу Фредгольма в терминах характеристических чисел и собственных функций:

Если $\lambda \neq \lambda _{k},\,k=1,2,\dots$ , то интегральные уравнения (1) и (1') однозначно разрешимы при любых свободных членах.
Если $\lambda =\lambda _{k}$ , то однородные уравнения

\varphi =\lambda _{k}K\varphi ,\quad \psi ={\bar {\lambda }}_{k}K^{*}\psi ,

имеют одинаковое (конечное) число $r_{k}\geq 1$ линейно независимых решений — собственных функций $\varphi _{k},\varphi _{k+1},\dots ,\varphi _{k+r_{k}-1}$ ядра $K(x,y)$ и собственных функций $\psi _{k},\psi _{k+1},\dots ,\psi _{r_{k}-1}$ ядра $K^{*}(x,y)$ .

Если $\lambda =\lambda _{k}$ , то для разрешимости уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы

(f,\psi _{k+i})=0,\quad i=0,1,r_{k}-1.

^[6]

Банахово пространство

Даны уравнения

Ax-x=y,\quad (2)

A^{*}f-f=g,\quad (2')

где $A$ — вполне непрерывный оператор, действующий в банаховом пространстве $E$ , а $A^{*}$ — сопряжённый оператор, действующий в сопряжённом пространстве $E^{*}$ . Тогда либо уравнения (2) и (2') разрешимы при любых правых частях, и в этом случае однородные уравнения

Ax-x=0

A^{*}f-f=0

имеют лишь нулевые решения, либо однородные уравнения имеют одинаковое число линейно независимых решений

x_{1},x_{2},\dots ,x_{n};\quad f_{1},f_{2},\dots ,f_{n};

в этом случае, чтобы уравнение (2) (соответственно (2')) имело решение, необходимо и достаточно, чтобы

f_{i}(y)=0,\quad i=1,2,\dots ,n

(соответственно $g(x_{i})=0,\,i=1,2,\dots ,n$ )^[7].

Применение к решению краевых задач для эллиптических уравнений

Метод Неймана решения задачи Дирихле

\Delta u(x)=0,\quad x\in G,\quad u(s)=g(s),\quad s\in C

состоит в том, что решение $u$ ищется в виде

u(x)=\int \limits _{C}\mu (t){\frac {\partial }{\partial n_{t}}}\log {\frac {1}{r_{xt}}}dt,

то есть в виде потенциала двойного слоя. Здесь $G$ — плоская область, $C$ — ограничивающая её замкнутая кривая, обладающая непрерывной кривизной, $r_{xt}$ — расстояние от точки $x$ до точки $t$ на контуре $S$ , $n_{t}$ — внутренняя нормаль к $C$ в точке $t$ . Функция $\mu$ должна удовлетворять интегральному уравнению

{\frac {1}{\pi }}g(s)=\mu (s)+\int \limits _{C}K(s,t)\mu (t)\,dt

с непрерывным ядром

K(s,t)={\frac {1}{\pi }}{\frac {\partial }{\partial n_{t}}}\log {\frac {1}{r_{xt}}}dt.

Согласно альтернативе Фредгольма, либо данное неоднородное уравнение имеет решение $\mu (s)$ при любом выборе непрерывной функции $g(s)$ , либо однородное уравнение

\nu (s)+\int \limits _{C}K(s,t)\mu (t)\,dt=0

допускает ненулевое решение $\nu (s)$ . Последнее невозможно, это можно показать при помощи принципа максимума для гармонических функций. Следовательно, внутренняя задача Дирихле имеет решение при любых непрерывных граничных значениях $g(s)$ . Аналогичные результаты получены для внешней задачи Дирихле, а также для задачи Неймана^[8].

См. также

Примечания

Литература

Конечномерное пространство

Ильин В. А., Ким Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998. — 320 с. — ISBN 5-211-03814-2.

Интегральные уравнения

Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики: Учебник для вузов. — 2-е изд., стереотип.. — М.: Физматлит, 2004. — 400 с. — ISBN 5-9221-0310-5.
Трикоми Ф. Интегральные уравнения. — М.: Издательство иностранной литературы, 1960.
Краснов М. Л. Интегральные уравнения. (Введение в теорию). — М.: Гл. ред. физ.-мат. лит. изд-ва «Наука», 1975.
Петровский И. Г. Лекции по теории интегральных уравнений. — М.: Наука, 1965. — 128 с.
Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М.: Мир, 1979. — 592 с.

Банахово пространство

Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. — Изд. 2-е, переработанное. — М.: Наука, 1965. — 520 с.

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2024
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[_df03c7d10c8b417e-1] 1 2 Ильин В. А., Ким Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия, 1998, с. 313.

[_2fd7be635fc96f38-2] Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 268.

[_2fe59b4f4a074eaf-3] Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики, 2004, с. 221.

[_6316065450371766-4] Трикоми Ф. Интегральные уравнения, 1960, с. 87.

[_840dd24742808c72-5] Краснов М. Л. Интегральные уравнения, 1975, с. 49.

[_f06b8e01995cd1c8-6] 1 2 3 Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики, 2004, Глава IV, § 4.2.

[_2fd7cc635fc986fa-7] Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 280.

[_cb427426c76a1a98-8] Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу, 1979, п. 81.