WikiSort.ru - Не сортированное

Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Для того чтобы линейная система являлась совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу её основной матрицы.

Пояснения

Система уравнений $Ax=b$ разрешима тогда и только тогда, когда $\operatorname {rang} A=\operatorname {rang} (A,b)$ , где $(A,b)$ — расширенная матрица, полученная из матрицы $A$ приписыванием столбца $b$ ^[1].

Доказательство (условия совместности системы)

Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа $x_{1},\dots ,x_{n}\in \mathbb {R}$ такие, что $b=x_{1}a_{1}+\dots +x_{n}a_{n}$ . Следовательно, столбец $b$ является линейной комбинацией столбцов $a_{1},\dots ,a_{n}$ матрицы $A$ . Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы её строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что $\operatorname {rang} A=\operatorname {rang} B$ .

Достаточность

Пусть $\operatorname {rang} A=\operatorname {rang} B=r$ . Возьмём в матрице $A$ какой-нибудь базисный минор. Так как $\operatorname {rang} B=r$ , то он же будет базисным минором и матрицы $B$ . Тогда, согласно теореме о базисном миноре, последний столбец матрицы $B$ будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы $A$ . Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы $A$ .

Следствия

Количество главных переменных системы равно рангу системы.
Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

См. также

Примечания

↑ Задачи и теоремы линейной алгебры, 1996, с. 65.

Литература

В. А. Ильин, Г. Д. Ким Линейная алгебра и аналитическая геометрия, М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007, 400с.
Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3.

Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".

Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.

Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .

Текст в блоке "Читать" взят с сайта "Википедия" и доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия.

Другой контент может иметь иную лицензию. Перед использованием материалов сайта WikiSort.ru внимательно изучите правила лицензирования конкретных элементов наполнения сайта.

2019-2024
WikiSort.ru - проект по пересортировке и дополнению контента Википедии

[_f2b5fb756d340f8d-1] Задачи и теоремы линейной алгебры, 1996, с. 65.