WikiSort.ru - Не сортированное

Ядром интегрального оператора (ядро Фредгольма^[1]) называется функция двух аргументов ${\displaystyle K(x,\;y)}$ , определяющая некий интегральный оператор ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ равенством

${\displaystyle \varphi (y)={\mathcal {A}}[\varphi (x)]=\int K(x,\;y)\varphi (x)\,d\mu (x),}$

где ${\displaystyle x\in \mathbb {X} }$  — пространство с мерой ${\displaystyle d\mu (x)}$ , а ${\displaystyle \varphi (x)}$ принадлежит некоторому пространству функций, определённых на ${\displaystyle \mathbb {X} }$ .

Примеры

• Ядро ${\displaystyle K(x,\;y)}$ называется ${\displaystyle L_{2}}$ -ядром, если оно удовлетворяет условию:

${\displaystyle \int \limits _{D}\int \limits _{D}|K(x,\;y)|^{2}\,dx\,dy<+\infty ,}$

где ${\displaystyle K(x,\;y)}$  — измеримая на ${\displaystyle D}$ функция.

Такие ядра являются основным предметом рассмотрения теории интегральных уравнений.

• Ядро, удовлетворяющее условию:

${\displaystyle K(x,\;y)\equiv 0}$ при ${\displaystyle y>x}$

называется ядром Вольтерры.

• Симметричное ядро — ядро, для которого выполняется тождество ${\displaystyle K(x,\;y)=K(y,\;x)}$ .
• Если выполняется тождество ${\displaystyle K(x,\;y)={\overline {K(y,\;x)}}}$ , где ${\displaystyle {\overline {K(y,\;x)}}}$ — комплексно сопряжённое к ${\displaystyle K(x,\;y)}$ , то такое ядро называется эрмитовым.
• Если ядро ${\displaystyle K(x,\;y)}$ допускает разложение вида:

${\displaystyle K(x,\;y)=\sum _{k=1}^{n}X_{k}(x)Y_{k}(y),}$

где ${\displaystyle \{X_{i}(x)\},\;\{Y_{i}(y)\}}$ ${\displaystyle (i=1,\;2,\;\ldots ,\;n)}$ — две системы линейно независимых интегрируемых с квадратом функций (${\displaystyle L_{2}}$ -функций), такое ядро называется ядром Пинкерле — Гурса, или PG-ядром.

Связанные определения

• Спектром ядра называется множество его собственных значений.

Теорема Мерсера

Теорема Мерсера (англ.) о разложении ядра гласит:

Литература

• Трикоми Ф. Интегральные уравнения. — М.: Издательство иностранной литературы, 1960. — 300 с.
• Полянин А. Д., Манжиров А. В. Справочник по интегральным уравнениям. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 608 с. — ISBN 5-9221-0288-5..
• Полянин А. Д., Манжиров А. В. Справочник по интегральным уравнениям: Точные решения. — М.: Факториал, 1998. — 432 с. — ISBN 5-88688-024-0..

Примечания