WikiSort.ru - Не сортированное

Существенный супремум — это аналог супремума, более подходящий для нужд функционального анализа. В этой науке обычно не интересуются тем, что происходит на множестве меры нуль, что учитывается в определении.

Определение

Существенный супремум ${\displaystyle \mathrm {ess} \sup }$ или ${\displaystyle \mathrm {vrai} \sup }$ функции ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$  — это нижняя грань множества таких чисел ${\displaystyle a}$ , что

${\displaystyle f(x)\leq a,~~x\in X}$

почти всюду. Другими словами,

${\displaystyle \mathrm {ess} \sup f=\inf\{a\in \mathbb {R} :\mu (\{x:f(x)>a\})=0\}\,,}$

где ${\displaystyle \mu }$  — мера на множестве ${\displaystyle X}$ . Аналогичным образом определяется существенный инфимум:

${\displaystyle \mathrm {ess} \inf f=\sup\{b\in \mathbb {R} :\mu (\{x:f(x)<b\})=0\}}$

Примеры

Пусть на прямой задана мера Лебега и соответствующая σ-алгебра Σ. Определим функцию ${\displaystyle f}$ следующим образом

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}5,&x=1\\-4,&x=-1\\2,&x\in \mathbb {R} \backslash \{-1,1\}\\\end{cases}}}$

Супремум данной функции есть число 5, а инфимум есть −4. Однако функция ${\displaystyle f}$ принимает эти значения только на множествах нулевой меры ${\displaystyle \{1\}}$ и ${\displaystyle \{-1\}}$ соответственно. Таким образом, почти всюду (по мере Лебега) данная функция равна 2, откуда вытекает, что существенный супремум и существенный инфимум ${\displaystyle f}$ совпадают и равны 2.

В качестве другого примера возьмём функцию

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{3},&x\in \mathbb {Q} \\\arctan {x},&x\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} \\\end{cases}}}$

где ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ обозначает множество рациональных чисел. Данная функция неограничена как сверху, так и снизу, поэтому её супремум и инфимум равны ${\displaystyle \infty }$ и ${\displaystyle -\infty }$ соответственно. Однако с точки зрения меры Лебега, множество рациональных чисел имеет меру нуль; для функционального анализа значение имеет то, что происходит на дополнении этого множества, где функция совпадает с ${\displaystyle \arctan x}$ . Следовательно, существенный супремум в данном случае есть ${\displaystyle \pi /2}$ , а существенный инфимум есть ${\displaystyle -\pi /2}$ .

Наконец, положим функцию ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$ определённой для всех вещественных ${\displaystyle x}$ . Её существенный супремум есть ${\displaystyle +\infty }$ , а существенный инфимум ${\displaystyle -\infty }$ .

Свойства

• ${\displaystyle \inf f\leqslant \mathrm {ess} \inf f\leqslant \mathrm {ess} \sup f\leqslant \sup f}$
• ${\displaystyle \mathrm {ess} \sup(f\cdot g)\leqslant (\mathrm {ess} \sup f)\cdot (\mathrm {ess} \sup g)}$ когда оба сомножителя в правой части неотрицательны.

Применение

Существенный супремум применяется для определения нормы на пространстве измеримых ограниченных почти всюду функций (с отождествлением функций, различающихся на множестве меры нуль). На этом пространстве определяется норма ${\displaystyle \|f\|=\mathrm {ess} \sup |f|}$ .Такое пространство с введённой нормой называют пространством L^∞.

Ссылки

• Существенный супремум (англ.) на сайте PlanetMath.