Определение
(Ковариантный) функтор
из категории
в категорию
— это отображение, которое:
- сопоставляет каждому объекту
объект
- сопоставляет каждому морфизму
в категории
морфизм
в категории
. Это сопоставление должно обладать следующими свойствами:
,
.
Таким образом, функтор должен сохранять тождественные морфизмы и структуру композиции морфизмов.
Аналогичным образом, контравариантный функтор — это отображение, обращающее стрелки (то есть сопоставляющее морфизму
морфизм
), сохраняющее тождественные морфизмы и удовлетворяющее равенству:
.
Также контравариантный функтор можно определить как ковариантный функтор из двойственной категории
. Некоторые авторы предпочитают записывать все выражения ковариантно, и вместо слов «контравариантный функтор из
в
» говорят «функтор из
в
» (или, иногда, «функтор из
в
»).
Бифункторы и мультифункторы
Бифунктор — это функтор от двух аргументов. Естественный пример — функтор Hom, он ковариантен по одному аргументу и контравариантен по другому.
Формально бифункторы определяются как функторы из категории произведения. Например, функтор
имеет вид
.
Мультифунктор — это обобщение понятия бифунктора на
переменных.
Примеры
Для задания функтора нужно определить действие его не только на объектах категории, но и (что более важно) на морфизмах: существуют различные функторы, действующие одинаково на объектах, например, тождественный функтор и антитождественный функтор, обращающий стрелки.
- Пусть
— подкатегория в категории
. В таком случае определён функтор вложения
, действующий на объектах и морфизмах как соответствующие вложения классов.
- Постоянный функтор: функтор, отображающий каждый объект категории
в фиксированный объект категории
, а каждый морфизм
— в тождественный морфизм этого объекта.
- Эндофункторами называют любые функторы из категории в себя.
- Предпучки: пусть
— топологическое пространство, тогда открытые подмножества
образуют частично упорядоченное множество по отношению включения, обозначаемое
. Как и любому частично упорядоченному множеству,
можно сопоставить категорию, добавляя единственный морфизм
тогда и только тогда, когда
. Контравариантные функторы из
называются предпучками. Например, существует функтор в категорию действительных алгебр, сопоставляющий открытому множеству алгебру вещественнозначных непрерывных функций на нём.
- Фундаментальная группа: каждому топологическому пространству
с отмеченной точкой
можно сопоставить фундаментальную группу
, элементы которой — классы эквивалентности петель с точностью до гомотопии. Если
— морфизм пространств с отмеченной точкой (непрерывное отображение, переводящее отмеченную точку первого пространства в отмеченную точку второго), каждой петле из точки
можно сопоставить её образ, являющийся петлёй из точки
. Это сопоставление согласуется с классами эквивалентности и с операцией композиции, следовательно, является гомоморфизмом из
в
. Нетрудно проверить, что выполняются и все остальные свойства ковариантного функтора из категории топологических пространств с отмеченной точкой в категорию групп.
- Касательное и кокасательное расслоение: отображение, сопоставляющее гладкому многообразию его касательное расслоение, а диффеоморфизму многообразий — его дифференциал, является ковариантным функтором из категории гладких многообразий и диффеоморфизмов в категорию векторных расслоений. Аналогично, кокасательное расслоение и кодифференциал диффеоморфизма задают контравариантный функтор.
- Рассмотрение касательного пространства в фиксированной точке задаёт ковариантный функтор из категории гладких многообразий с отмеченной точкой и гладких отображений в категорию векторных пространств.
- Тензорное произведение: если
— категория векторных пространств над фиксированным полем, тензорное произведение двух пространств задаёт функтор
, ковариантный по обоим аргументам[3].
- Функтор
сопоставляет полю
его абсолютную группу Галуа
, а гомоморфизму полей — соответствующий[прояснить] гомоморфизм групп Галуа.
Свойства
- Функтор переводит коммутативные диаграммы в коммутативные диаграммы.
- Функтор переводит изоморфизмы в изоморфизмы.
- Композиция двух функторов тоже является функтором. Композиция функторов является ассоциативной операцией (там, где она определена), поэтому функторы между малыми категориями удовлетворяют всем свойствам морфизмов в категории.
Категория из одного объекта — то же самое, что моноид: морфизмы в ней соответствуют элементам моноида, а операция композиции морфизмов — операции, определённой в моноиде. Функторы между категориями с одним объектом взаимно-однозначно соответствуют гомоморфизмам моноидов; следовательно, в некотором смысле, функтор является обобщением понятия гомоморфизма моноидов на «моноиды, в которых операция композиции определена не всюду».
Литература
- Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов. — М.: Мир, 1972. — 259 с.
- Маклейн С. Глава 2. Конструкции в категориях // Категории для работающего математика. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4. — С. 43—67.
- Цаленко М. С., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974. — 256 с.
Ссылки
- Marquis, Jean-Pierre. Category Theory (англ.). Stanford Encyclopedia of Philosophy. — Включает в себя очень полный список литературы. Проверено 30 июля 2013. Архивировано 13 августа 2013 года.
Данная страница на сайте WikiSort.ru содержит текст со страницы сайта "Википедия".
Если Вы хотите её отредактировать, то можете сделать это на странице редактирования в Википедии.
Если сделанные Вами правки не будут кем-нибудь удалены, то через несколько дней они появятся на сайте WikiSort.ru .