WikiSort.ru - Не сортированное

Предпучок в теории категорий — конструкция, обобщающая топологическое понятие предпучка.

Формально, предпучок ${\displaystyle F}$ на категории ${\displaystyle C}$ со значениями в категории ${\displaystyle V}$  — это функтор ${\displaystyle F\colon C^{\mathrm {op} }\to \mathbf {V} }$ , то есть контравариантный функтор из ${\displaystyle C}$ в ${\displaystyle V}$ . Чаще всего рассматривают предпучки со значениями в категории множеств. Если ${\displaystyle C}$  — частично упорядоченное множество открытых множеств топологического пространства по включению, то категорный предпучок задаёт предпучок на топологическом пространстве в смысле, используемом в теории пучков.

Морфизмы между предпучками можно определить как естественные преобразования функторов. Это позволяет рассмотреть категорию функторов ${\displaystyle {\widehat {C}}=\mathbf {Set} ^{C^{\mathrm {op} }}}$ . Функтор в ${\displaystyle {\widehat {C}}}$ называют профунктором.

Предпучок, естественно изоморфный функтору Hom ${\displaystyle \mathrm {Hom} (-,A)}$ для некоторого объекта ${\displaystyle A}$ категории ${\displaystyle C}$ называется представимым предпучком.

Широко используемый пример предпучка в теоретико-категорном смысле — симплициальное множество, являющееся предпучком на симплициальной категории ${\displaystyle \Delta }$ со значениями в категории множеств.

Свойства

• Если ${\displaystyle C}$  — малая категория, то категория пучков на ней ${\displaystyle {\widehat {C}}=\mathbf {Set} ^{C^{\mathrm {op} }}}$ является декартово замкнутой, и даже топосом. Также она является полной и кополной.
• Локально малая категория допускает полное и унивалентное вложение в категорию пучков на ней со значениями в ${\displaystyle \mathbf {Set} }$  — вложение Йонеды.

Литература

• Маклейн С. Глава 3. Универсальные конструкции и пределы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 68—94. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

• Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk, «Sheaves in Geometry and Logic» (1992) Springer-Verlag — ISBN 0-387-97710-4